Calcule la siguiente integral

Question

$$\int_{[0,1]^n} \max(x_1,\ldots,x_n) \, dx_1\cdots dx_n$$

Mi trabajo:

Lo sé porque todos los $x_k$ son simétricos puedo suponer que $1\geq x_1 \geq \cdots \geq x_n\geq 0$ y multiplicar la respuesta por $n!$ por lo que obtenemos que $\max(x_1\ldots,x_n)=x_1$ y la integral que queremos calcular es $n!\int_0^1 x_1 \, dx_1 \int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}} \, dx_n$ y ahora debería ser más fácil pero estoy atascado..

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Este es un enfoque alternativo.

Dejemos que $X_i$ ( $i=1,\cdots , n$ ) sea una variable aleatoria uniforme independiente en $[0,1]$ .

¿Cuál es el PDF de $M=\max (X_1, \cdots, X_n)$ ?

Entonces, ¿qué es $\mathbf{E}[M]$ ?

Answer 2

Se puede ver por inducción que:

$$\int_0^1 x_1 dx_1 \int_0^{x_2 } dx_2 \cdots = \int_0^1 x_1 \frac{x_{n - (n-1)}^{n-1}}{(n-1)!} dx_1 =\frac{1}{(n+1) \times (n-1)!}$$

Por lo tanto, la integral original es:

$$n! \times \frac1{(n+1) \times (n-1)!} = \frac{n}{n+1}$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $\max(x_1,x_2,\dots,x_n)=\max(x_1,\max(x_2,\dots,x_n))$ . Además, hay que tener en cuenta que

$$\begin{align} \int_0^1\int_0^1\max(x,y)\,dx\,dy&=\int_0^1\left(\int_0^y y\,dx+\int_y^1 x\,dx\right)\,dy\\\\ &=\int_0^1 \left(\frac12+\frac12 y^2\right)\,dy \end{align}$$

Ahora, podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^1 \max(x_1,x_2,\dots,x_n)\,dx_1&=\int_0^1 \max(x_1,\max(x_2,\dots,x_n))\,dx_1\\\\ &=\int_0^{\max(x_2,\dots,x_n)}\max(x_2,\dots,x_n)\,dx_1+\int_{\max(x_2,\dots,x_n)}^1x_1\,dx_1\\\\ &=\frac12 +\frac12\left(\max(x_2,\dots,x_n)\right)^2 \end{align}$$

Entonces, observe que

$$\begin{align} \frac{1}{k}\int_0^1 \left(\max(x_k,\dots ,x_n)\right)^{k}\,dx_k&=\int_0^{\max(x_{k+1},\dots ,x_n)}\left(\max(x_{k+1},\dots ,x_n)\right)^k\,dx_k+\int_{\max(x_{k+1},\dots ,x_n)}^1 x_k^k\,dx_k\\\\ &=\frac{1}{k}\left(\frac{k}{k+1}\left(\max(x_{k+1},\dots,x_n)\right)^{k+1}+\frac{1}{k+1}\right)\\\\ &=\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{k+1}\left(\max(x_{k+1},\dots,x_n)\right)^{k+1} \end{align}$$

Procediendo inductivamente, encontramos que

$$\begin{align} \int_0^1\cdots \int_0^1 \max(x_1,x_2,\dots,x_n)\,dx_1\cdots dx_n&=\frac1{(2)(1)}+\frac{1}{(3)(2)}+\frac{1}{(4)(3)}+\cdots +\frac{1}{(n+1)(n)}\\\\ &=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\\\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\\\ &=\frac{n}{n+1} \end{align}$$

Answer 4

Esto es bastante sencillo utilizando métodos probabilísticos: Lo que se busca es

$$E[\max_{1 \le i \le n} X_i] = \int_{[0,1]^n} \max x_i \ \ dx_1\dots dx_n$$

donde $X_i$ se distribuyen uniformemente en $[0,1]$ .

Ahora llama $Y = \max_i X_i$ su función de distribución viene dada por

$$F_Y(x) = P(\max X_i \le x) = \prod_i P(X_i \le x) = x^n \ \ \ \text{ $ x en [0,1] $}$$

Por lo tanto, $Y$ es absolutamente continua y su densidad viene dada por $$f_Y(x) = nx^{n-1}1_{[0,1]}(x)$$

Por lo tanto, encontramos que

$$E[\max X_i] = E[Y] = \int_\mathbb R xf_Y(x) dx = \int_0^1 nx^n dx = \frac n{n+1}$$