Hay una extensión de los números enteros, donde la "suma de números naturales" es riguroso?

Question

Hay la conocida afirmación de que $$\sum_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12} \tag 1$$ Por supuesto, en esta forma, mediante la interpretación usual de la suma infinita como límite finito de sumas, es erróneo, ya que la suma en el lado izquierdo diverge. El $-1/12$ se obtiene mediante el uso de la serie de la función zeta, $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$$ y, a continuación, la observación de que formalmente la evaluación por $s=-1$ da eq. (1).

Ahora vamos a considerar otro "suma" de una divergente la serie: $$\sum_{n=0}^{\infty} 2^n = -1 \tag 2$$ De nuevo, usted puede hacer un argumento como el de arriba: Si tomamos la serie geométrica $$\frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n$$ e inserte $q=2$, obtenemos la identidad reivindicada.

Sin embargo, eq. (2) también puede ser de manera rigurosa mediante la extensión de los números enteros a la $2$-ádico números, donde el lado izquierdo de hecho converge a $-1$.

Mi pregunta por tanto es:

¿Existe una extensión de los números enteros que hace eq. (1) rigurosa en el sentido de que en esa extensión de la suma en realidad converge al valor de $-1/12$?

Answer 1

El $2$-ádico de la topología hace $\mathbb{Z}$ en un topológico de Hausdorff grupo (y, de hecho, un topológico anillo). Esto es importante: el hecho de que la topología es compatible con la adición se utiliza para probar varios hechos básicos acerca de la serie convergente, por ejemplo, que el cambio de un número finito de términos no afecta a la convergencia.

Reclamo: no Hay topológico de Hausdorff estructura de grupo en la $\mathbb{Z}$ de manera tal que la secuencia $$ \etiqueta{$\star$} \sum_{n=1}^kn,\;\;\;k=1,2,\ldots $$ es de Cauchy.

Prueba: Supongamos que una topología de tal existe. Elegir un abrir vecindario $U$ $0$ tal que $1\not\in U$, y un vecindario $V$ $0$ tal que $V-V\subset U$. Aquí, $V-V=\{v_1-v_2:v_1,v_2\in V\}$. Asumimos $(\star)$ es de Cauchy, entonces hay una cierta $N>0$ tal que $$ \sum_{n=1}^{k_1}n-\sum_{n=1}^{k_2}n\in V $$ siempre $k_1$, $k_2>N$. Ahora $$ 1=\left(\sum_{n=1}^{N+3}de n-\sum_{n=1}^{N+2}n\right)-\left(\sum_{n=1}^{N+2}de n-\sum_{n=1}^{N+1}n\right)\in V-V\subconjunto de U, $$ lo que contradice $1\not\in U$.