Tengo una pregunta decididamente extraña.
¿Existe una medida de probabilidad $(\mu, \mathcal{F})$ en $[0,1]$ tal que
1) $\mu(x) = 0$ para cada $x \in [0,1]$
2) Para cada $r \in [0,1] \setminus \lbrace \frac{1}{2} \rbrace$, existe $A \in \mathcal{F}$ con $\mu(A) = r$, y
3) No existe $A \in \mathcal{F}$ con $\mu(A) = \frac{1}{2}$?
La pregunta surge de un problema preliminar en el que se asumía la existencia de un conjunto de medida-$\frac{1}{2}$, lo que me hizo preguntarme si la asunción era por conveniencia o necesaria. ¿Principio de la casilla de palomas? ¿Ultrafiltros?
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Mostrar que la función $\phi(t) := \mu([0,t])$ es continua.
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Sí, funciona (para mostrar la inexistencia de tal medida). ¡Gracias!
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Oh lo siento, tu solución en realidad es incorrecta. La medibilidad de esos conjuntos no se asume. ¿Seguirá siendo $\phi$ continua si reemplazamos $\mu$ con $\mu^*$?
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OK, si esto no se asume como una medida de Borel, entonces tendrás que demostrar que es una medida atómica y luego ver es.wikipedia.org/wiki/Átomo_%28teoría_de_la_medida%29
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Entonces, ¿estás diciendo que la afirmación original será cierta si asumimos que $\mu$ es no atómica, o que la medida exterior será continua si no es atómica?
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Mi segunda pista también no es buena... 1) y 2) no implican que la medida sea no atómica. Así que tenemos que ir a... "Halmos mostró que el rango de una medida finita y no negativa es un subconjunto cerrado de los números reales." ver mathoverflow.net/questions/160338
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@GEdgar ¿tal vez vale la pena convertirlo en una respuesta? Eso parece resolver la pregunta del OP (ahora, si se necesita un martillo para hacerlo, no lo sé, pero al menos hace el trabajo).
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¿La suposición de que tal medida no existe para el caso 1/2 implica que esto no es cierto en el caso de p, p en (0,1)?