Una vez que tenemos la fórmula, es de rutina (si tedioso) para comprobar expandiendo. Encontrar una buena fórmula es más difícil. En Arce, usted podría denest el lado izquierdo de (1) como sigue:
Q:= sqrt((1+4^(1/5))/5^(1/5));
convert(simplify(convert(Q,RootOf)),radical);
$$ \frac{1}{10}\,{5}^{2/5} \left( {4}^{4/5}+{4}^{3/5}+2\cdot {4}^{2/5}-2 \right) $$
EDIT:
Now let's try some reverse engineering. Say you wanted to find a nice formula for a square root where the numerator of the right side involved some linear combination of fifth roots of powers of $2$ with small integer coefficients. We might look at
$$R = a_0 + 2^{1/5} a_1 + 2^{2/5} a_2 + 2^{3/5} a_3 + 2^{4/5} a_4$$
Podemos plaza este y extraer los coeficientes de $2^{i/5}$, $i=0\ldots 4$:
$R^2 = \sum_{i=0}^4 c_i 2^{i/5}$ donde
$$ \eqalign{c_0 &= {a_{{0}}}^{2}+4\,a_{{1}}a_{{4}}+4\,a_{{2}}a_{{3}}\cr
c_1 y= 2\,a_{{0}}a_{{1}}+4\,a_{{2}}a_{{4}}+2\,{a_{{3}}}^{2}\cr
c_2 y= 2\,a_{{0}}a_{{2}}+{a_{{1}}}^{2}+4\,a_{{3}}a_{{4}}\cr
c_3 y= 2\,a_{{0}}a_{{3}}+2\,a_{{1}}a_{{2}}+2\,{a_{{4}}}^{2}\cr
c_4 y= 2\,a_{{0}}a_{{4}}+2\,a_{{1}}a_{{3}}+{a_{{2}}}^{2}
}$$
Queremos que la mayoría de estos (es decir, al menos, $3$ de la $5$)$0$. No es fácil resolver un sistema de Diophantine ecuaciones, pero podemos recurrir a la fuerza bruta: tratar todos los casos en que $a_i \in \{-2,-1,0,1,2\}$. En Maple se tarda prácticamente nada de tiempo. Por lo tanto ese es el caso de Ramanujan del
$$ (a_0, \ldots, a_4) = (-1,1,0,1,1)$$
lo que hace
$$ (c_0, \ldots, c_4) = (5,0,5,0,0)$$
Otro es
$$ (a_0, \ldots, a_4) = (2, 0, 2, 2, -1)$$
lo que hace
$$ (c_0, \ldots, c_4) = (20,0,0,10,0) $$
es decir, $$ 20 + 10 \cdot 2^{3/5} = (2 + 2 \cdot 2^{2/5} + 2 \cdot 2^{3/5} - 2^{4/5})^2 $$
Dividir por $100$ y tomar las raíces cuadradas: después de revisar el signo es a la derecha, esta dice:
$$ \sqrt{\dfrac{1 + 2^{-2/5}}{5}} = \dfrac{1 + 2^{2/5} + 2^{3/5} - 2^{-1/5}}{5}$$
No sé si es tan bueno como el de Ramanujan la fórmula, pero me gusta.
O tal vez prefieres
$$ \sqrt{\dfrac{4\cdot 2^{3/5} - 3 \cdot 2^{2/5}}{5}} = \dfrac{4 - 2^{1/5} - 2 \cdot 2^{2/5} + 2\cdot 2^{3/5}}{5} $$
or
$$ \sqrt{8+5 \cdot 3^{1/6}+3^{1/2}} = \frac{1+2 \cdot 3^{1/6}+3^{1/3} - 3^{1/2} + 3^{5/6}}{\sqrt{2}}$$
