¿Los campos de la imagen de interacción transforma como campos libres bajo aumenta?

Question

Este post fue originalmente escrito para preguntar acerca de las propiedades de transformación de los campos de la interacción de la imagen de QFT bajo el Poincaré transformaciones. Arnold Neumaier, ha señalado que la pregunta es vacuo, porque no hay tal cosa como la interacción de la imagen en relativista QFT. En cuanto a mi (no muy educado, debo admitir - así que por favor me corrija si estoy equivocado) la comprensión se va, el problema es que la interacción y la no-interacción teorías son "infinitamente diferente" y uno no puede tratar tanto las representaciones del grupo de Poincaré y tanto los operadores de campo así definido operadores que actúan en el mismo espacio de Hilbert. Este problema es quizás una de las razones por las que QFT está plagada de mathemathical problemas. El enfoque aplicado por los físicos que en realidad calcular los resultados de los experimentos es el descuido de este problema, tratarlo como una dificultad técnica y, a continuación, cura resultante de las incoherencias y de los infinitos por renormalizaton procedimiento, que conduce a resultados consistentes en el nivel de la teoría de la perturbación. En el resto de este post voy a jugar el juego de asumir que la interacción de la imagen que realmente existe, y todos los cálculos que se presentan son puramente formal de las manipulaciones.

Primero vamos a explicar las notaciones. Siguiente desarrollo en Weinber del libro vol. 1, en los capítulos 2 y 3 no puedo esperar dos representaciones de Poincaré grupo de existir. $U_0(\Lambda,a)$ transforma asintótica (in y out) de los estados. $U(\Lambda, a)$ es la representación del grupo de Poincaré de la interacción de la teoría. La relación entre los generadores de dos representaciones es $H=H_0+V$, $\vec P = \vec P_0$, $\vec J = \vec J_0$, $\vec K = \vec K_0 + \vec W$, donde $\vec W$ es el término de corrección que debe satisfacer ciertas condiciones para producir un covariante Lorentz teoría (en el sentido de que $U_0$ viajes con el $S$ operador) - los detalles se describen en Weinberg. $\phi(x)$ es algún campo cuántico en la imagen de Heisenberg. Puede ser un tensor, spinor o lo que sea y me abandono índice correspondiente. Se transforma de acuerdo a $$ U(\Lambda, a) \phi(x) U(\Lambda,a)^{\dagger}= D(\Lambda ^{-1}) \phi (\Lambda x +a), $$ donde $D$ es algunos finito dimensionales representación del grupo de Lorentz. Esta es la matriz que actúa sobre Lorentz o spinor índices de $\phi$. Por lo tanto, diciendo: ¿qué es $D$ es equivalente a la especificación de la algebraicas tipo de campo $\phi$ - por ejemplo, $D(\Lambda)=1$ corresponde a un campo escalar, $D(\Lambda)=\Lambda$ es un campo de vectores, etc.

Ahora puedo elegir un marco inercial y el intento de definir los campos en la interacción de la imagen $\phi_I(x)$ $$ \phi_I(x) = U_0(x) \phi (0) U_0(x)^{\dagger}. $$ A partir de la definición, $\phi_I(x)=\phi(x)$ si $x^0=0$, pero no lo contrario. Esta definición puede escribirse como $$ \phi_I(x) = U_I(x) \phi(x) U_I(x)^{\dagger}, $$ donde $U_I(a)=U_0(a)U(a)^{\dagger}$. De ello se deduce fácilmente a partir de las definiciones hasta ahora que si $R$ es una rotación y $a$ arbitrarias y, a continuación, vector $$ U_0(R,a) \phi_I(x) U_0(R,a) = D(R^{-1}) \phi_I(R x +a), $$ y en este sentido la interacción de campos de imagen $\phi_I(x)$ transformación de los campos libres bajo el grupo de Poincaré. Sin embargo, no puedo reproducir el mismo resultado si la rotación $R$ es reemplazado por impulso o algunos generales de la transformación de Lorentz. Lo mejor que puedo conseguir es $$ U_0(\Lambda, a) \phi_I(x) U_0(\Lambda,a)^{\dagger}=D_0(\Lambda^{-1}) \phi_I(\Lambda x +a), $$ donde $D_0$ es de algunos, pero no necesariamente la misma representación del grupo de Lorentz. Esto parece extraño, porque la introducción de las interacciones no se debe cambiar el carácter algebraico de los campos.

Mi pregunta se puede poner de la siguiente manera: hay una forma de argumentar que (al menos en algunos supuestos acerca de las interacciones) las representaciones de $D$ $D_0$ son iguales?

Answer 1

Haag teorema (el artículo de la Wikipedia vinculados a está mal escrito, pero tiene referencias útiles) dice que la interacción de la imagen para relativista de campos cuánticos no existe - es decir, suponiendo que uno lleva a una contradicción. La razón es que el campo espacial $\phi(0,\mathbb{x})$ está mal definida desde $\phi(x)$ es sólo una distribución, de manera que no coincidan con los campos en un tiempo finito. Lo mismo vale para los su $\phi(0)$.

En particular, Haag teorema establece que las representaciones de las relaciones de conmutación de la interacción de la teoría y de la libre teoría no equivalentes. Esto más o menos respuestas a su pregunta final, parece estar pidiendo. (Uno se mantiene la representación de Poincaré intacta y no obtener una representación en el campo de la interacción uno - lo que al parecer, tratar de hacer -, o uno se mantiene la libre relaciones de conmutación intacto - ¿qué Weinberg está haciendo - y no obtener una válida la interacción de la imagen.)

Esto no es extraño, ya que las interacciones son demasiado singular para definir un auto-adjunto del operador en el noninteracting espacio de Hilbert. Renormalization es necesario sólo por este hecho. Ver mi tutorial de papel Renormalization sin infinitos - un tutorial para explicaciones de por qué singular interacciones cambiar el espacio de Hilbert, ya en mucho las situaciones más simples.

El hecho de que la interacción de los campos de llevar a una representación del grupo de Poincaré implica que su transformación comportamiento es el mismo que para los correspondientes campos libres - para translaciones, rotaciones y mejoras. De hecho, lo que se cita de Weinberg se cumple para cualquier relativista cuántica de campos. Lo que es diferente de la gratuita de su caso es que no satisfacer la libre ecuaciones de campo ni de la canónica de reglas de conmutación. Sólo satisfacer el requisito de la causalidad de spacelike (anti)conmutatividad.

No hay ninguna razón por qué su $\phi_I$ debe tener buen Lorentz propiedades, ya que es una noncovariant objeto, por haber fijado un tiempo de dirección (en la construcción de las dos representaciones $D$$D_0$). La correspondencia entre la asintótica de los campos de $\phi_\pm(x)$ y la interacción de campo $\phi(x)$ no está dada por su relación (que coincide con los tiempos en$t=0$), sino por una relación que coincide con los tiempos en $t=\pm\infty$. La correcta correspondencia está dada por Haag-Ruelle teoría.

En el menos riguroso tratamiento por Weinberg (que pretende que uno puede conseguir la interacción de los campos desde el campo libre por el cambio en las interacciones), usted puede encontrar la relación discuten en el contexto donde demuestra la invariancia de Lorentz de la S-matrix.