$$ \mathbf{\mbox{Evaluar:}}\qquad \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1}{\left(1 - t^{2}\right)^2} - \frac{\left(n + 1\right)^{2}\,t^{2n}}{\left(\, 1 - t^{2n+2}\,\,\right)^{2}}} \,\,\mathrm{d}t $$ donde $n$ es cualquier entero positivo.
Introducción: Esta integral se acercó mientras que el estudio de la distribución de las raíces de polinomios aleatorios - y yo no puedo descifrarlo. Parece impermeable a los métodos de integración sé. Ni Mathematica ni Wolfram-Alpha podría encontrar una forma cerrada, no sólo para este general integral, pero en cualquier caso especial de $n>1$.
Mi intento:
Para $n=1$, la integral es bastante trivial para calcular expansión el integrando se obtiene: $$\int_0^1 \sqrt{\frac{1}{t^4-2 t^2+1}-\frac{4 t^2}{t^8-2 t^4+1}}$$ Lo cual simplifica bastante fácil: $$\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}$$ La antiderivada de el integrando es $\tan^{-1}{t}$. La evaluación en los límites de la da: $$\int_0^1 \sqrt{\frac{1}{t^4-2 t^2+1}-\frac{4 t^2}{t^8-2 t^4+1}}=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$$ Sin embargo, este método no funciona para $n>1$, y ninguna persona hace cualquier método que yo sepa.
Valores numéricos: A continuación se enumeran los aproximados a los valores numéricos de esta integral. Ni Wolfram Alpha, ni a la Inversa Simbólico de la calculadora fueron capaces de encontrar formas cerradas para estos números.
$$n=2 \qquad 1.01868$$ $$n=3 \qquad 1.17241$$ $$n=4 \qquad 1.28844$$ $$n=5 \qquad 1.38198$$ $$n=6 \qquad 1.46049$$
Cualquier ayuda en este integral sería muy apreciada. Gracias!
