Muestran que una generalizada caballero puede volver a su posición original sólo después de un número par de movimientos

Question

Fuente: Alemán Olimpiada Matemática

Problema:

Sobre arbitrariamente un gran tablero de ajedrez, un generalizada caballero se desplaza saltando p cuadrados en una dirección y q cuadrados en una dirección perpendicular, p, q > 0. Mostrar que un caballero puede volver a su posición original sólo después de un número par de movimientos.

Intento:

Asumir, wlog, el caballero se mueve $q$ pasos a la derecha después de su $p$ pasos. Deje que la validez se mueve por el caballero de ser "LU", "UR", "DL", "RD", es decir, cuando se mueve Left, tiene que ir Up("LU"), o cuando se va de la Ude p , se tiene que ir Right("UR") y así sucesivamente.

Deje que el caballero ser estacionados en $(0,0)$. Tomamos nota de que después de cualquier movimiento de sus coordenadas serán múltiplos enteros de $p,q$. Deje que su posición final será de $(pk, qr)$ para $ k,r\in\mathbb{Z}$. Seguimos firmar convenios de sistema de coordenadas.

Vamos caballero mover por $-pk$ horizontalmente y $-qk$ verticalmente por la aplicación repetida de un solo paso. Así, su nueva posición es de $(0,q(r-k))$ estoy pensando que de alguna manera tengo que cancelar $q(r-k)$ lograr $(0,0)$, pero no ser capaz de hacer lo mismo.

Consejos por favor?

Answer 1

Caso I: Si $p+q$ es impar, entonces el caballero de la plaza cambia de color después de cada movimiento, por lo que estamos por hacer.

Caso II: Si $p$ y $q$ son ambos impares, entonces el valor de $x$-coordinar los cambios por un número impar después de cada movimiento, así que es raro que después de un número impar de movimientos. Por lo que el valor de $x$coordenada puede ser cero sólo después de un número par de movimientos.

Caso III: Si $p$ y $q$ son ambos inclusive, se puede continuar dividiendo cada uno de ellos por $2$ hasta llegar el Caso de que yo o Caso II. (Dividiendo $p$ y $q$ por la misma cantidad, no se cambia la forma de el caballero del camino, sólo su tamaño).

Answer 2

Este utiliza los números complejos.

Definir $z=p+qi$. Decir que el caballero comienza en $0$ en el plano complejo. Tenga en cuenta que, en un solo movimiento, el caballero puede agregar o restar $z$, $iz$, $\bar z$, $i\barra z$ a su posición.

Por lo tanto, en cualquier momento, el caballero está en un punto de la forma: $$(a+bi)z+(c+di)\barra z$$ donde $a$ y $b$ son números enteros.

Tenga en cuenta que la paridad (uniformidad/rareza) de la cantidad de $a+b+c+d$ los cambios después de cada movimiento. Esto significa que incluso después de un número par de movimientos y extraño después de un número impar de movimientos. También tenga en cuenta que: $$a+b+c+d\equiv a^2+b^2-c^2-d^2\pmod2$$ (Esto es debido a que $x\equiv x^2\pmod2$ y $x\equiv-x\pmod2$ para todo $x$.)

Ahora, digamos que el caballero ha llegado a su posición original. Entonces: \begin{align} (a+bi)z+(c+di)\barra z&=0\\ (a+bi)z&=-(c+di)\barra z\\ |a+bi|,|z|y=|c+di||z|\\ |a+bi|&=|c+di|\\ \sqrt{a^2+b^2}&=\sqrt{c^2+d^2}\\ a^2+b^2&=c^2+d^2\\ a^2+b^2-c^2-d^2&=0\\ a^2+b^2-c^2-d^2&\equiv0\pmod2\\ a+b+c+d + \equiv0\pmod2 \end{align} Por lo tanto, el número de movimientos es aún.

Curiosamente, esto implica que $p$ y $q$ no deben ser enteros. Cada uno puede ser cualquier número real. La única restricción es que no podemos tener $p=q=0$.

Answer 3

Una alternativa de solución algebraica:

Tiene 8 movimientos posibles $(p,q)$, $(p,-p)$, $(-p,p)$, $(-p,-q)$, $(q,p)$, $(p,-p)$, $(-p,p)$, $(-q,-p)$. Deje de $a_1,\cdots,a_8$ el número de cada uno de estos movimientos ($a_i$ son números enteros no negativos). A partir de $(0,0)$ de llegar al punto de $$\left((a_1+a_2-a_3-a_4)p+(a_5+a_6-a_7-a_8)q,\:(a_5-a_6+a_7-a_8)p+(a_1-a_2+a_3-a_4)q\right)$$ Con el fin de devolver a $(0,0)$ $ $ el siguiente debe mantener $$(a_1+a_2-a_3-a_4)p+(a_5+a_6-a_7-a_8)q=0\\ (a_5-a_6+a_7-a_8)p+(a_1-a_2+a_3-a_4)q=0$$

Caso 1:Si $$a_1+a_2-a_3-a_4=0$$ entonces $$a_5+a_6-a_7-a_8=0$$ Para cada una de estas ecuaciones, el número de probabilidades debe ser par. Por lo tanto la suma total de $\sum_{i=1}^8{a_i}$ , que es el número total de movimientos debe ser par.

Caso 2:Si $$a_1+a_2-a_3-a_4\neq 0$$ $$p=\frac{a_7+a_8-a_5-a_6}{a_1+a_2-a_3-a_4}p$$ Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos $$(a_5-a_6+a_7-a_8)(a_7+a_8-a_5-a_6)+(a_1-a_2+a_3-a_4)(a_1+a_2-a_3-a_4)=0$$ o, equivalentemente, $$(a_7-a_6)^2-(a_5-a_8)^2+(a_1-a_4)^2-(a_2-a_3)^2=0$$ y $$(a_7-a_6)^2+(a_1-a_4)^2=(a_2-a_3)^2+(a_5-a_8)^2$$ Considere de nuevo el número total de probabilidades en la ecuación anterior. Este debe ser uniforme y por lo tanto la suma total de $\sum_{i=1}^8{a_i}$, que es el número total de los movimientos deben ser también incluso para el Caso 2.

Answer 4

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $p\ge p\ge0$. Dos de los casos son fáciles de probar:

1. Si $p+q$ es impar, el caballero se alterna entre los cuadros blancos y negros, por lo que tiene un número par de movimientos para volver a cualquier color que usted comenzó.

2. Si $p=0$, cada movimiento es puramente horizontal o puramente vertical; requiere de un número de cada tipo de movimiento para volver al punto de inicio, de modo que un número en todos.

Si $p+q$ es par, podemos reinterpretar el caballero se mueven como se hizo en las dos perpendiculares diagonal direcciones. El número total de plazas saltó en la reinterpretación que se ve fácilmente en $p$. Desde $p\lt p+q$ si $p\gt0$, podemos decir que la magia de la palabra "inducción" y lo llaman un día (o caballero).

Answer 5

se puede suponer sin pérdida de generalidad que $(p,q)=1$ y Patricio argumento muestra podemos suponer que ambos $p$ y $q$ son impares.

representan los movimientos de la siguiente manera, con los índices de tomar valores en $\{0,1\}$: $$ M[i,j] = ((-1)^ip,(-1)^jq) \\ N[i,j] = ((-1)^iq,(-1)^jp) $$ y denotan el número de movimientos de cada tipo por $m_{ij},n_{ij}$

para volver al mismo punto requiere $$ p\sum m_{ij} + p \sum n_{ij} \equiv_2 0 $$ (y una restricción similar con $p$ y $q$ intercambiados) por lo tanto $\sum m_{ij} \equiv_2 \sum n_{ij}$

dado que el número total de movimientos es de $\sum m_{ij}+\sum n_{ij}$, el resultado necesario de la siguiente manera