Sé que es fácil de demostrar con la ayuda de inecuaciones lineales, pero esta vez quiero demostrarlo con la ayuda de la trigonometría. ¿Es posible? Si es así, ¿cómo?
Si no lo fueran, las dos partes no conseguirían llegar a un acuerdo sobre el papel. Dibuja una línea y dos círculos con puntos medios en los puntos extremos de la línea, si la suma de radios no es mayor que la longitud de la línea los círculos nunca se cruzarán y no podrás construir un triángulo.
Ahora mira mi habilidades de pintura de dios . Si $c+b \lt a$ entonces no importa cómo elijamos los ángulos que giran alrededor de los puntos finales de $a$ podremos hacer $b$ y $c$ Los extremos se unen para formar un triángulo. 
Esta prueba no requiere casi ningún esfuerzo mental para entenderla; ojalá hubiera más pruebas como ésta
@Mark: porque es una prueba intuitiva. Por ejemplo, no funciona en la superficie de una esfera (en cuyo caso los círculos podrían intersecarse "por detrás"), y no indica explícitamente qué propiedades del plano euclidiano está utilizando para distinguirlo de una esfera.
Sí, esa es la esencia. Pero unas pocas palabras en ese sentido harían inmediatamente evidente para el lector cómo el gráfico se traduce elegantemente en una prueba en lugar de tomar unos momentos para deducirlo.
Utilice ley del coseno
$a^2=b^2 + c^2 -2bc \cos(A) \lt b^2 + c^2 + 2bc=(b+c)^2$ porque $-1 \lt \cos(A) \lt 1$
@user52817 fácil. Como en mi imagen A es un ancuto y B es un agudo, entonces la única manera de gulear dos triángulos con ángulo recto ,para formar un triángulo, es utilizar la arista común. Así que el pie de la perpendicular está entre A y B.
Tal vez no sea tan directamente trigonométrico como quieres (@Eugen dio la respuesta que yo hubiera dado en ese sentido), pero ...
La fórmula de Heron. Si $T$ es el área del triángulo con longitudes laterales $a$ , $b$ , $c$ entonces $$\frac{16\;T^2}{a+b+c} = (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \tag{$ \N - La estrella $}$$
Obsérvese que cada factor del lado derecho corresponde a un aspecto de la desigualdad del triángulo. Para los triángulos no degenerados ( $T>0$ ), el lado izquierdo es estrictamente positivo, lo que implica que el número de factores negativos de la derecha debe ser par; pero, uno determina fácilmente que este número de factores no puede ser dos , por lo que debe ser cero es decir: las tres desigualdades triangulares deben cumplirse. (Dejaré que el lector considere el caso degenerado ( $T=0$ ).)
Otra forma de pensar en esto es:
Tres longitudes forman un triángulo si y sólo si Heron calcula un real zona ( $T$ ) de ellos. Es decir, la fórmula de Heron no sólo calcula el valor de un triángulo zona determina el potencial de un triángulo viabilidad .
Para su información: el Teorema de Menger que caracteriza cuando seis longitudes forman un tetraedro funciona de forma similar: (1) Heron debe calcular cuatro real áreas de las caras, y (2) el determinante de Cayley-Menger debe calcular un real volumen.
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¿Qué son las desigualdades lineales?
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Me pregunto cuántas de las respuestas (incluida la mía) utilizan implícitamente el hecho de que dos lados cualesquiera del triángulo son mayores que el tercero en los teoremas invocados.
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Esta desigualdad específica tiene un nombre muy conocido, el Desigualdades del triángulo . Bastante importante como caso especial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, fácil de entender.