Esta es otra forma de preguntar si la prueba de Wiles puede convertirse en una prueba "puramente teórica". Si no hay ninguna prueba en la Aritmética de Peano, entonces debería haber números enteros no estándar que satisfacen la ecuación de Fermat. Recuerdo vagamente que se sabe que la mayoría de las pruebas de la teoría analítica de los números son convertibles en elementales, probablemente porque alguna versión del análisis predicativo es una extensión conservadora de la aritmética. Pero la prueba de Wiles no utiliza tanto análisis como la geometría algebraica de alto nivel, así que no estoy seguro. ¿Es convertible en aritmética elemental, se sabe siquiera?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Voy a responder a dos preguntas citadas a continuación, que provienen de este comentario . Aquí "TP" significa "principio de transferencia". He cambiado el orden de las preguntas.
... por qué no demuestra que cualquier frase para la que se preserva TP y que es verdadera en el modelo estándar, debe ser verdadera en todos los modelos, y por tanto demostrable en PA.
He aquí un resumen informal de cómo funciona la construcción hiperrealista. Si empezamos con cualquier estructura $M$ con un lenguaje formal asociado, y tomar una ultrapotencia, obtendremos una estructura $M^*$ . Por el teorema de Los, $M^*$ satisfará las mismas sentencias que $M$ en ese lenguaje formal. En los casos de interés, $M$ tiene una línea real interna $\mathbb{R}$ y un sembrado interno de naturales $\mathbb{N}$ . El ultraproducto $M^*$ con el fin de tener una línea interna "hiperreal" $\mathbb{R}^*$ y un sembrado interno de "hipernaturales" $\mathbb{N}^*$ .
Si empezamos con diferentes modelos $M_1$ y $M_2$ (por ejemplo, si uno de ellos no es estándar), simplemente obtenemos modelos diferentes $M_1^*$ y $M_2^*$ . Las frases de la lengua apropiada son verdaderas en $M_1$ si y sólo si son verdaderos en $M_1^*$ y verdadero en $M_2$ si y sólo si son verdaderos en $M_2^*$ pero si no hay conexión entre $M_1$ y $M_2$ para empezar, entonces la construcción de ultrapoder no puede crear uno. El principio de transferencia sólo es válido entre cada modelo individual $M$ y su ultrapoder $M^*$ .
En este punto tengo mucha curiosidad por saber por qué un trasplante ingenuo del argumento de TP a la incrustación "no estándar" no demuestra (indirectamente) que la FLT se mantiene en todos los modelos de PA, aunque no proporcione ningún medio para convertir (directamente) la prueba de Wiles en PA.
La pregunta original es correcta: "La prueba de Wiles no utiliza tanto análisis como la geometría algebraica de alto nivel". Sin embargo, esto es malo para el análisis no estándar, porque cuando hacemos la recta hiperreal empezamos normalmente con una estructura $M$ que es apenas más que el campo de los números reales. Esto es bueno si queremos trabajar con el tipo de construcciones utilizadas en el análisis elemental, pero no es tan útil si necesitamos trabajar con construcciones teóricas de conjuntos más generales.
La prueba de Wiles, tal y como se lee literalmente, utiliza varias construcciones de "universos" en teoría de conjuntos. Así que, para tratar de acercarse a eso en un entorno no estándar, querríamos empezar con un modelo $M$ que es mucho más que una copia de la línea real. Eso no parece ayudarnos a demostrar que la FLT se mantiene en todos los modelos de AP.
Lo que pasa con la prueba es que la lectura "literal" es demasiado fuerte. No soy un experto en la geometría algebraica utilizada, pero he seguido las discusiones en varios foros, y esta es la situación tal y como la entiendo. La demostración se basa en varios lemas generales que, para ser demostrados con la máxima generalidad, fueron demostrados utilizando métodos muy fuertes. Sin embargo, en casos concretos como el FLT sólo se necesitan versiones más débiles de los lemas, y los expertos parecen creer que las versiones más débiles deberían poder demostrarse en PA. Pero la elaboración de la prueba requeriría un gran esfuerzo para demostrar en PA los casos especiales más débiles de todos los lemas necesarios y luego combinarlos para obtener el FLT.
Esto es muy análogo, en mi opinión, al hecho de que en lógica a menudo demostramos cosas utilizando axiomas fuertes, pero los expertos en lógica reconocen que estas cosas también son demostrables, en casos concretos, en sistemas mucho más débiles. Por lo general, no nos detenemos en ello, ni siquiera lo señalamos, a menos que haya una razón específica. De hecho, el número de cosas que sé que son demostrables en PA es mucho mayor que el número de cosas para las que he escrito una demostración en PA.
Colin McLarty ha publicado varios artículos sobre los axiomas necesarios para la FLT. Puede consultar ¿Qué hace falta para demostrar el último teorema de Fermat? de la Boletín de Lógica Simbólica que es relativamente accesible.
Tomas Dabasinskas
Puntos
41
El OP pregunta "¿Existen contraejemplos no estándar al Último Teorema de Fermat?" En realidad, la pregunta puede interpretarse de dos maneras diferentes, ya que el OP menciona en un comentario que "una copia de los enteros no estándar está incrustada en los hiperreales".
Si la pregunta se interpreta como aplicable a todos los modelos posibles de AP, entonces, por el teorema de completitud, si el teorema de Wiles no es demostrable en AP, entonces debe haber modelos en los que el resultado falle.
Si se interpreta que la pregunta se aplica a los modelos incrustados en los hiperreales, como sugiere el comentario de la OP, entonces se podría observar lo siguiente. El teorema puede expresarse mediante una fórmula de primer orden, al igual que el teorema de Wiles (que no hay soluciones). El principio de transferencia se aplica a tales fórmulas. Por lo tanto, el teorema de Wiles sigue siendo cierto también sobre los hiperintegros. Por tanto, tampoco hay contraejemplos no estándar.
Este punto se planteó en la respuesta de Mike Haskel de forma ligeramente diferente, pero se eliminó presumiblemente porque Mike llegó a adoptar la primera interpretación. No estoy seguro de si el OP puede ver la respuesta eliminada (esto depende de la reputación puntuación). El punto sigue siendo válido con respecto a la segunda interpretación.
El teorema de Fermat es expresable en PA. Por lo tanto, una extensión elemental como la de Skolem construida en 1933 también satisfaría el teorema de Wiles, ya que Wiles sí demostró el último teorema de Fermat, aunque utilizó herramientas que van más allá de PA. Por lo tanto, esto proporciona una respuesta a la pregunta del OP, que mencionó específicamente la incrustación de los enteros no estándar en los hiperreales en su primera comentario por debajo del pregunta .
En cuanto a su pregunta sobre el estatus fundacional de la prueba de FLT, se puede encontrar un relato bastante actualizado aquí . Un nombre clave es McLarty.
