¿Cuáles son los diferentes enfoques para introducir las funciones elementales?

Question

Motivación

Todos nos familiarizamos con las funciones elementales en el instituto o la universidad. Sin embargo, como el sistema de aprendizaje no está tan integrado, las hemos aprendido de diferentes maneras y las conexiones entre estas formas no son aclaradas en su mayoría por los profesores. Una vez que leí el libro de cálculo de Apostol, descubrí que uno puede definir estas funciones de una manera sistemática de tratado sólo analíticamente . El enfoque utilizado en el libro, con algunos cambios menores, es el siguiente

$1.$ En primer lugar, introduzca el logaritmo natural función por $\ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$ para $x>0$ . En consecuencia, se define la función logaritmo por $\log_{b}x=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$ para $b>0$ , $b \ne 1$ y $x>0$ .

$2.$ A continuación, introduzca el exponencial natural como la inversa del logaritmo natural $\exp(x)=\ln^{-1}(x)$ . A continuación, introduzca la función exponencial $a^x=\exp(x\ln(a))$ para $a>0$ y real $x$ . Intercambio de $x$ y $a$ se puede introducir el poder función $x^a=\exp(a\ln(x))$ para $x \gt 0$ y real $a$ .

$3.$ A continuación, defina hiperbólica funciones $\cosh(x)$ y $\sinh(x)$ utilizando la función exponencial

$$\matrix{ {\cosh (x) = {{\exp (x) + \exp ( - x)} \over 2}} \hfill & {\sinh (x) = {{\exp (x) - \exp ( - x)} \over 2}} \hfill \cr } $$

y luego definir las otras funciones hiperbólicas. En consecuencia, se puede definir la inversamente hiperbólico funciones.

$4.$ Por último, el autor ofrece tres formas de introducir el trigonométrico funciones.

$\qquad 4.1-$ Introduce la $\sin x$ y $\cos x$ por las siguientes propiedades

\begin{align*}{} \text{(a)}\,\,& \text{The domain of $\sin x$ and $\cos x$ is $\mathbb R$} \\ \text{(b)}\,\,& \cos 0 = \sin \frac{\pi}{2}=0,\, \cos \pi=-1 \\ \text{(c)}\,\,& \cos (y-x)= \cos y \cos x + \sin y \sin x \\ \text{(d)}\,\,& \text{For $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ we have $0 \le \cos x \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{\cos x}$} \end{align*}

$\qquad 4.2-$ Utilizar las definiciones geométricas formales empleando el círculo unitario.

$\qquad 4.3-$ Presentación de $\sin x$ y $\cos x$ funciones por sus series de Taylor.

y luego definir los otros trigonométricos y el trigonométrico inverso funciones.

Desde mi punto de vista, el planteamiento es bueno pero parece un poco inconexo ya que no se ilustra la relación entre las funciones trigonométricas y exponenciales ya que el autor insiste en quedarse en el dominio real al introducir estas funciones. Además, las funciones exponenciales y de potencia sólo se definen para números reales positivos $a$ y $x$ mientras que pueden extenderse a los negativos.

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Preguntas

$1.$ ¿Cuántos otros enfoques se utilizan para este fin? ¿Son muchos o sólo unos pocos? ¿Existe alguna lista al respecto?

$2.$ ¿Podría explicar una de las otras formas heurísticas de introducir las funciones elementales de forma analítica con los detalles adecuados?

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Notas

• Comentarios históricos son bienvenidos ya que proporcionan una buena motivación.

• Las respuestas que conectan conceptos matemáticos más avanzados (no demasiado elementales) con el desarrollo de las funciones elementales son realmente bienvenidas. Un buen ejemplo de ello es la respuesta de Aloizio Macedo que se indican a continuación.

• Es difícil elegir la mejor respuesta entre estas bonitas respuestas, así que decidí no elegir ninguna. Me limité a dar las recompensas a las que son más compatibles con los estudios del instituto. Sin embargo, por favor, siéntase libre de añadir nuevas respuestas incluyendo tus propias ideas o lo que te parezca interesante para que podamos tener una valiosa lista de diferentes enfoques registrados aquí. Esto puede servir como una buena guía para futuros lectores.

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Enlaces útiles

• Aquí hay un enlace a un documento por W. F. Eberlein sugerido en los comentarios. El documento trata de introducir las funciones trigonométricas de forma sistemática.

• Hay seis pdfs creados por Paramanand Singh que tiene una respuesta a continuación. Discute algunos enfoques para introducir funciones logarítmicas, exponenciales y circulares. Los he combinado todos en un pdf que puede descargarse desde aquí . Estoy seguro de que será útil.

Answer 1

Hay dos estructuras de grupo canónicas en $\mathbb{R}$ : $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ .

Buscamos los isomorfismos entre las estructuras.

La identidad es un automorfismo en $(\mathbb{R},+)$ y el exponencial es un isomorfismo de $(\mathbb{R},+)$ a $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ .

Además, son los únicos isomorfismos continuos de este tipo, una vez que se fija un valor en $1$ .

Así que, tenemos:

La identidad $id$ es el único automorfismo continuo en $(\mathbb{R},+)$ tal que $id(1)=1$ y el exponencial $\exp$ es el único isomorfismo continuo de $(\mathbb{R},+)$ a $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ tal que $\exp(1)=e$ .

A partir de ellas, se derivan todas las demás funciones elementales.

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Resumiendo, para obtener las funciones elementales, sólo se necesitan las algebraicamente (y analíticamente, ya que debemos suponer la continuidad) interesantes.

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Ampliando un poco, si no quieres que te permitan considerar la exponenciación a los números complejos, llegando a $\sin$ y $\cos$ de $\exp$ y la identidad puede ser problemática. Por lo tanto, proporcionaré otra forma de introducir $\sin$ y $\cos$ . Irónicamente, se trata de ideas "complejas".

Considere $C^{\infty}(\mathbb{R})$ y $X: C^{\infty}(\mathbb{R}) \rightarrow C^{\infty}(\mathbb{R})$ dado por $$f \mapsto f'.$$ Consideremos también la función de identidad $I$ en $C^{\infty}(\mathbb{R})$ . Tenemos que $e^{x}$ y $e^{-x}$ son las dos soluciones "morales" (más exactamente, forman una base para las soluciones) de $$X^2-I=0.$$ Es natural buscar las soluciones de $$X^2+I=0.$$ (¿Te parece familiar?) Tenemos entonces que las soluciones con las condiciones iniciales adecuadas son $\sin$ y $\cos$ .

Answer 2

$1.$ Napier obtuvo logaritmos aproximados utilizando el cuadrado repetido para calcular, por ejemplo, que $(1.000001)^{693417}$ se trata de $2$ . Así que $\log_{1.000001}2$ se trata de $693147.$ Él "normalizaría" los registros a la base $1+1/n$ dividiéndolos por $n$ . El número que llamamos $e$ sigue apareciendo con un registro normalizado de aproximadamente $1$ . Por lo tanto, la motivación para definir

$$\exp (x)=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$

que es válido para todos los complejos $x$ .

$2.$ Tengo una afición por definir $\log x=\int_1^x t^{-1}dt$ porque es muy fácil, mediante un cambio de variable lineal, mostrar $\log a b =\log a+\log b$ .

$3.$ H.Dorrie, en $101$ Great Problems In Elementary Mathematics, da una deducción corta y sencilla de las series de potencias para el seno y el cos (dado sólo $\sin'=\cos$ y $\cos'=-\sin$ y $x>0\to x>\sin x$ y que $\cos 0=1,\sin 0=0$ ) que no requiere ningún conocimiento de la teoría general de las series de potencias, ni siquiera "series de potencias finitas más el término del resto".

Answer 3

Puede definir $\sin$ y $\cos$ como soluciones a la ecuación

$$f''=-f$$

La función $\sin$ es la única solución que satisface $f(0) = 0, f'(0) = 1$ y $\cos$ es la única solución que satisface $f(0) = 1, f'(0) = 0$ . En otras palabras, $\sin$ y $\cos$ son las funciones que describen las órbitas de los osciladores armónicos simples. Podemos entonces definir $\pi$ como el semiperiodo de $\sin$ (una vez que probemos que es periódica). En otras palabras, $\pi$ es el tiempo que tarda un oscilador armónico en pasar de un valor extremo a otro (y, por tanto, no tiene nada que ver con los círculos).

Ahora dejemos que $(x(t), y(t))$ sean las coordenadas de una partícula que se mueve alrededor de un círculo unitario con velocidad uniforme $1$ . Como la distancia de la partícula al origen es constante, el vector velocidad $(x(t), y(t))'$ debe ser ortogonal a $(x(t), y(t))$ y es de longitud unitaria ya que la partícula tiene velocidad unitaria. Por lo tanto $(x(t), y(t))'=(-y(t), x(t))$ .

De esta ecuación se deduce $x''=-x$ y $y''=-y$ y las condiciones iniciales están fijadas por nuestras suposiciones sobre la naturaleza del movimiento circular. En otras palabras, hemos demostrado que una partícula que se mueve uniformemente en un círculo es un oscilador armónico simple. Por lo tanto $x=\sin, y=\cos$ (y por lo tanto el tiempo que se tarda en hacer una rotación es $2\pi$ de ahí la fórmula del perímetro).

Answer 4

No es lo suficientemente largo ni detallado para la recompensa, y es esencialmente una glosa de la respuesta de @Ian, pero quizás valga la pena añadirlo a la discusión.

La mayoría de los estudiantes aprenden las funciones trigonométricas en el instituto, y quizás la exponencial. Me gusta reintroducir la exponencial en el cálculo como la función que es su propia derivada, ya que el uso más importante de esa función en las aplicaciones es resolver la ecuación diferencial $f'(x) = kf(x)$ . El nivel de rigor de la definición depende del nivel general de rigor del curso.

Entonces el logaritmo (natural) es la función inversa.

Cuando se llega a las series de potencias se conectan las funciones exponenciales y trigonométricas derivando la identidad $$ e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}. $$

Entonces se pueden definir las funciones hiperbólicas con la fórmula análoga.

Answer 5

Puede seguir los pasos 3-5 pero invirtiendo los pasos 1 y 2. Una forma de hacerlo es definir $\exp$ como la única solución a $y'=y,y(0)=1$ . Proceder de esta manera lleva algo de trabajo, porque hay que demostrar el teorema de Picard-Lindelof para asegurarse de que hay una solución única en primer lugar. Sin embargo, una vez hecho esto, se tiene $\exp$ .

A continuación, la positividad de $\exp$ se deduce de la unicidad: la solución de $y'=y,y(0)=0$ es $y \equiv 0$ y es único. Además, la EDO es autónoma. Por consiguiente, $\exp$ no puede cruzar $y=0$ . Por lo tanto, $\exp$ es monótona, por lo que tiene una inversa que se define en el rango de $\exp$ ; llamamos a este inverso $\ln$ .

Lo último que hay que hacer es demostrar que el rango de $\exp$ es $(0,\infty)$ . En primer lugar, al tomar dos derivadas se obtiene la convexidad, que revela $e^x \geq 1+x$ por lo que el límite en $+\infty$ es $+\infty$ . Lo último es demostrar que el límite en $-\infty$ es $0$ esto se puede demostrar con la ecuación funcional $\exp(t+s)=\exp(t)\exp(s)$ que se deduce de nuevo de la EDO.