Si $A$ $B$ son dos unital anillos tal que $A \times A \cong B \times B$, como anillos, no se sigue que $A$ $B$ son isomorfos (como suena)?
Creo que la respuesta es no, pero no puedo venir para arriba con un contraejemplo. Una similar pregunta para los grupos que ya se ha preguntado - la respuesta no es sencilla. Aquí es posiblemente relacionados con la pregunta, pero hay $R$-módulos isomorphisms.
[Si $A$ $B$ son los campos, podemos ver que $B^2$ $2$- dimensional $A$-espacio vectorial, por lo que el $A \cong B$ $A$- espacios vectoriales, ya que tienen la misma dimensión. Puedo estar equivocado acerca de esto, pero de todos modos esto no es suficiente para obtener un campo de isomorfismo.]
Gracias por sus comentarios!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En esta respuesta (y con más detalle en esta respuesta) me dio un ejemplo, debido a Sundaresan, de un compacto Hausdorff espacio de $X$ que si $Y$ $Z$ son el resultado de la adición de uno y dos puntos aislados, respectivamente, a$X$, $X\sim Z\not\sim Y$ donde $\sim$ denota homeomorphism. Por lo tanto, $X\sqcup X\sim X\sqcup Z\sim Y\sqcup Y$, aunque $X\not\sim Y$. Deje $A=C(X)$$B=C(Y)$; a continuación,
$$A\times A\cong C(X\sqcup X)\cong C(Y\sqcup Y)\cong B\times B\;,$$
pero $A\not\cong B$.
