Suma de todos los números naturales es 0?

Question

Una bastante conocido (y desconcertante) el hecho es que la suma de todos los números naturales se da el valor -1/12, al menos en ciertos contextos. Muy a menudo, una "prueba" que consiste en abusar divergentes y oscilante de la serie, y los números parecen encajar en la final. (También hay otras pruebas que involucran la función zeta o de otras cosas, pero esa no es mi preocupación ahora mismo).

Sin embargo, traté de calcular a mi manera utilizando métodos similares, y esto es lo que obtuve:

$$\begin{align} S = 1 &+ 2 + 3 + 4 + …\\\\ 2S = 1 &+ 2 + 3 + 4 + 5 + \ldots\\ &+ 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots\\\\ = 1 &+ 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots\\ \end{align}$$ También, $2S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \ldots$

La adición de los anteriores juntos,

$$4S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = S$$

Lo que significa que $3S = 0$, por lo $S = 0$

Obviamente, debe haber alguna razón por la que esto no está bien, de lo contrario tendríamos $-1/12 = 0$.
Pero, ¿por qué es mi método equivocado mientras que la que implica la oscilación de la serie se considera aceptable?

Aclaraciones adicionales: me preguntaba si hay maneras específicas para manipular este tipo de series que, asumiendo que el resultado es finito y la realización de sólo ciertos tipos de "permitidos" de operaciones, uno podía estar seguro de obtener el mismo resultado de la rigurosa forma de asignar un determinado valor a la suma de la serie. Hasta ahora, el consenso parece ser negativa.

Answer 1

La respuesta simple a lo que parece ser su pregunta: "¿por qué es mi método de malo?"

Usted está asumiendo que claramente divergentes de la serie converge para algún número $S$; esto proporciona una contradicción, si se supone una contradicción para ser cierto, entonces básicamente puedes utilizar para demostrar lo absurdo que desee.

Mostrando que esta serie de sumas de dinero a $-1/12$ y el uso de este resultado no tiene mucho que ver con lo que usted está pensando en como la suma de una serie infinita. El Numberphile video es entretenida, pero es una basura tan lejos como las matemáticas. No explican este resultado, el significado detrás de él, el contexto en el que se utiliza, o la justificación de los pasos que se utilizan en su "prueba". No hay nada rigurosos acerca de la prueba que se presente, es todo humo y espejos. Así que es natural que, imitando su prueba, usted es acabar con un mal resultado.

Answer 2

La forma más común de definir $\sum_{n\geq1}n$ es por sus sumas parciales: $$ \sum_{n\geq1}n\equiv\lim_{N\rightarrow\infty}s_{N}\text{ donde }s_{N}\equiv\sum_{n=1}^{N}n=\frac{1}{2}N\left(N+1\right). $$ Claramente, este es divergente.

---

Como parece que se han dado cuenta, que hay otras formas de definir esta suma. Esto hace que todo tipo de confusión, ya que a la gente le gusta también el uso de la notación $\sum_{n\geq1}n$ en estas definiciones alternativas.

Veamos ahora de "zeta función de regularización", que es la interpretación que de los rendimientos de $-1/12$. En particular, tenga en cuenta que $$ \zeta(s)=\sum_{n\geq1}n^{s}\text{ para }\operatorname{Re}(s)>1 $$ por definición, en donde estamos en la anterior, usando la noción usual de la suma de un límite de sumas parciales. El $\zeta$ función, sin embargo, es también definida para los otros valores de $s$ por la continuación analítica. Así, podemos reinterpretar $$ \verificación{\sum_{n\geq1}}n\equiv\zeta(-1)=-1/12. $$ Sin embargo, tenga en cuenta que las dos interpretaciones $$\sum\text{ and }\check{\sum}$$ son completamente diferentes!

---

En cuanto al método que se refieren como "abuso divergentes y oscilante de la serie", tal vez usted está pensando en esto. Esto no es riguroso.

Answer 3

El error en su derivación - no estoy bromeando - es la afirmación de que 1+2=3 (y de manera similar 2+3=5, 3+4=7 etc.)

Sumas como esta su significado de la función Zeta de regularización, y el intuitivo manipulaciones algebraicas son sólo la taquigrafía para la correcta manipulación de los correspondientes de la serie de Dirichlet. Lo que ocurre es que las manipulaciones en los enlaces de la prueba puede ser traducido a un apropiado, mientras que la manipulación no puede.

En particular, es más fácil trabajar con la alternancia de sumas de dinero porque se puede pensar en ellos como poder formal de la serie en la que, a continuación, sustituir 1 (y ya que cambiar es equivalente a multiplicar por una potencia de $x$, puede hacerlo libremente). Pero usted no puede hacer eso por las sumas como 1+2+3+... porque usted obtendrá un 0 denominador, por lo que otras técnicas son necesarias.

Si la manipulación se traducen a Zeta Función de la regularización, vas a conseguir que el 1 y 2 de intentar agregar en realidad no son 1 y 2, que se $1^{-s}$$2^{-s}$, y estos no se suman a $3^{-s}$, dejando el resto de la derivación no válido.

Ver también https://en.wikipedia.org/wiki/1_+2+3+4+_%E2%8B%FA#Heurística.

Answer 4

En cierto sentido, el error está en la resta. Usted está tratando de hacer algo de aritmética en cosas que no son números adecuados, y que no todo se comporta de la misma.

Por un leve simplificación, pensar acerca de la suma $$ S = 1 + 1 + 1 + \cdots $$ A continuación, por el mismo razonamiento como el tuyo, se puede considerar $$ 2S := S + S = 1 + 1 + 1 + \cdots $$ Aquí he intercalado sumas de dinero, y esto está bien porque todos los términos son positivos, aunque no es válido en general. Esta adición de $S$ con sí mismo, en cierto sentido, está muy bien y nos vemos a $2S = S$. Entonces quieres decir que $$ 2S = S \implies S = 0, $$ pero el problema no arbitrarias "cantidades" S, incluso en el caso de que $S = +\infty$, que es el valor de $S$ aquí. (La declaración de arriba ni siquiera se mantenga en muchos finito sistemas algebraicos como $\mathbb Z/6 \mathbb Z$.)

Cosas extrañas suceden al intentar trabajar con infinitos, y no todo los viajes. En particular, usted necesita tener cuidado acerca de restar infinitas sumas de dinero porque condicionalmente convergente sumas se pueden reordenar para tomar valores arbitrarios.

Answer 5

Si usted asume que la suma de todos los productos naturales es finito y el "usuales de la aritmética" reglas aquí, usted puede conseguir bastante impresionantes resultados, como:

$$S=1+2+3+\ldots\implies 2+4+6+\ldots=2(1+2+3+\ldots)=2S\implies$$

$$S=1+2+3+\ldots=1+3+5+\ldots+2+4+6+\ldots=1+3+5+\ldots+2S\implies$$

$$-S=1+3+5+\ldots$$

Y mucho más de lo que usted desea, por ejemplo:

$$1+1+1+\ldots-S=1+1+1+\ldots+1+3+5+\ldots=1+1+3+1+5+1+\ldots=$$

$$=2+4+6+\ldots=2S\implies 3S=1+1+1+\ldots\;,\;\;\text{etc.} $$