Cero dividido por cero debe ser igual a cero

Question

¿Qué está mal con el siguiente argumento (si no se involucra la teoría de anillos)?

Proposición 1: $\frac{0}{0} = 0$

Prueba: Supongamos que $\frac{0}{0}$ no es igual a $0$

$\frac{0}{0}$ no es igual a $0 \Rightarrow \frac{0}{0} = x$, algún $x$ no igual a $0$ $\Rightarrow$ $2(\frac{0}{0}) = 2x$ $\Rightarrow$ $\frac{2\cdot 0}{0} = 2x$ $\Rightarrow$ $\frac{0}{0} = 2x$ $\Rightarrow$ $x = 2x$ $\Rightarrow$ $ x = 0$ $\Rightarrow$ [porque $x$ no es igual a $0$]$\Rightarrow$ contradicción

Por lo tanto, no es el caso que $\frac{0}{0}$ no es igual a $0$

Por lo tanto, $\frac{0}{0} = 0

Q.E.D.

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Actualización (2015-12-01) después de sus respuestas:

Proposición 2: $\frac{0}{0}$ no es un número real

Prueba [Actualización (2015-12-07): Parte 1 de este argumento no es válida, como se señala en los comentarios a continuación]:

Supongamos que $\frac{0}{0}= x$, donde $x$ es un número real.

Entonces, o bien $x = 0$ o $x$ no es igual a $0$.

1) Supongamos $x = 0$, es decir, $\frac{0}{0} = 0$

Entonces, $1 = 0 + 1 = \frac{0}{0} + \frac{1}{1} = \frac{0 \cdot 1}{0 \cdot 1} + \frac{1 \cdot 0}{1 \cdot 0} = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{0 \cdot 1} = \frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0} = 0$

Contradicción

Por lo tanto, no es el caso que $x = 0$

2) Supongamos que $x$ no es igual a $0$.

$x = \frac{0}{0} \Rightarrow 2x = 2 \cdot \frac{0}{0} = \frac{2 \cdot 0}{0} = \frac{0}{0} = x \Rightarrow x = 0 \Rightarrow$ contradicción

Por lo tanto, no es el caso que $x$ sea un número real que no es igual a $0$.

Por lo tanto, $\frac{0}{0}$ no es un número real.

Q.E.D.

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Actualización (2015-12-02)

Si acepta la definición (casi) usual, que para todos los números reales $a$, $b$ y $c$, tenemos $\frac{a}{b}=c$ si y solo si $a=cb$, entonces creo que lo siguiente debería ser suficiente para excluir $\frac{0}{0}$ de los números reales.

Proposición 3: $\frac{0}{0}$ no es un número real

Prueba: Supongamos que $\frac{0}{0} = x$, donde $x$ es un número real.

$\frac{0}{0}=x \Leftrightarrow x \cdot 0 = 0 = (x + 1) \cdot 0 \Leftrightarrow \frac{0}{0}=x+1$

$ \therefore x = x + 1 \Leftrightarrow 0 = 1 \Leftrightarrow \bot$

Q.E.D.

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Actualización (2015-12-07):

¿Qué tal la siguiente mejora de la Proposición 1 (debería combinarse con una nueva definición de división y fracción, considerando el caso de $\frac{0}{0}$)?

Proposición 4: Supongamos que $\frac{0}{0}$ está definido, de modo que $\frac{0}{0} \in \mathbb{R}$, y que la regla $a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$ se cumple para todos los números reales $a$, $b$ y $c$. Entonces, $\frac{0}{0} = 0$

Prueba: Supongamos que $\frac{0}{0}=x$, donde $x \ne 0$.

$x = \frac{0}{0} \Rightarrow 2x = 2 \cdot \frac{0}{0} = \frac{2 \cdot 0}{0} = \frac{0}{0} = x \Rightarrow x = 0 \Rightarrow \bot$

$\therefore \frac{0}{0}=0$

Q.E.D.

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Definición sugerida de división de números reales:

Si $b \ne 0$, entonces

$\frac{a}{b}=c$ si y solo si $a=bc$

Si $a=0$ y $b=0$, entonces

$\frac{a}{b}=0$

Si $a \ne 0$ y $b=0$, entonces $\frac{a}{b}$ no está definido.

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Una versión algo más minimalista:

Proposición 5. Si $\frac{0}{0}$ está definido, de modo que $\frac{0}{0} \in \mathbb{R}$, entonces $\frac{0}{0}=0$.

Prueba: Supongamos que $\frac{0}{0} \in \mathbb{R}$ y que $\frac{0}{0}=a \ne 0$.

$a = \frac{0}{0} = \frac{2 \cdot 0}{0} = 2a \Rightarrow a = 0 \Rightarrow \bot$

$\therefore \frac{0}{0}=0$

Q.E.D.

Answer 1

El error está en la primera implicación. Si $0/0$ no es igual a cero, no hay razón por la cual $0/0$ deba igualar a algún $x$. No hay razón para creer que podemos hacer esta división y obtener un número.

Por lo tanto, tienes una demostración de que $0/0$ no puede ser igual a ningún $x$ distinto de cero. Combina esto con una prueba de que $0/0$ no puede ser igual a cero, y has demostrado que $0/0$ no es un número.

Answer 2

Tu demostración asume que $0/0$ es un número ya que tu argumento involucra operaciones aritméticas.

Ahora bien, si asumimos las reglas habituales de la aritmética para los racionales, ¿por qué no podemos hacer esto: $$ \frac00+\frac11=\frac{0\times1+1\times0}{1\times0}=\frac00. $$ Entonces $$ 1=\frac11=0. $$

Answer 3

Para poder demostrar cualquier cosa acerca de $\frac{0}{0}$, necesitamos una definición de $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son, digamos, enteros. La definición correcta es $\frac{a}{b} = ab^{-1}$, donde la definición de $b^{-1}$ es el número (que es único, cuando existe, de acuerdo con algunas propiedades básicas de los números) tal que $bb^{-1}=1$. Pero entonces se puede ver (una vez más, asumiendo algunas propiedades básicas de los números) que $0^{-1}$ no existe, por lo que $\frac{0}{0}$ ni siquiera está definido.

Answer 4

Puedes definir $\frac{0}{0}$ como quieras; puede ser $0$, o $1$, o $\pi$. Pero aquí está el detalle: queremos que la elección del valor de $\frac{0}{0}$ sea compatible con las leyes habituales de la aritmética.

Desde este punto de vista, lo que realmente has demostrado es que si $\frac{0}{0}$ es cualquier cosa excepto $0$, entonces la ley $2\frac{0}{0} = \frac{2 \cdot 0}{0}$ no puede cumplirse. Por lo tanto, la ley: $a\frac{b}{c} = \frac{ab}{c}$ tampoco puede cumplirse. Esto sugiere que simplemente definir $\frac{0}{0}=0$ podría ser realmente una buena idea. Desafortunadamente, esto rompe otra ley de aritmética, a saber, $\frac{a}{a} = 1$.

Dado que no podemos tener lo mejor de ambos mundos, quizás sea mejor dejar simplemente $\frac{0}{0}$ indefinido.

De hecho, creo que la mejor solución es definir la división no de números reales, sino de subconjuntos afines de $\mathbb{R}$. Estos son: los subconjuntos unitarios de $\mathbb{R}$, el subconjunto vacío y $\mathbb{R}$ mismo. Entonces, al pasar a los subconjuntos afines, efectivamente hemos añadido dos nuevos "puntos", a saber, $\emptyset$ y $\mathbb{R}$.

Ahora definimos que dado subconjuntos afines $Y$ y $X$ de $\mathbb{R}$, tenemos:

$$\frac{Y}{X} = \{r \in \mathbb{R} \mid Y \supseteq rX\}$$

Puedes comprobar que el resultado de dividir un subconjunto afín entre otro siempre será afín.

Bajo estas convenciones, tenemos:

$$\frac{0}{0} = \mathbb{R}, \qquad \frac{1}{0} = \emptyset$$

Esto justifica la intuición de que tratar de dividir $0$ entre $0$ es de alguna manera diferente de tratar de dividir un número distinto de cero entre $0$.

Divulgación completa: aunque pasar a los subconjuntos afines funciona algebraicamente, no estoy seguro de cómo poner una topología o estructura uniforme o métrica en la colección de subconjuntos afines de $\mathbb{R}$. Hasta que podamos averiguar cómo hacer esto, mi solución propuesta probablemente no sea tan útil.

Answer 5

En mi experiencia, cuando la gente tiene un problema con $\frac 0 0$, generalmente significa que no han desarrollado una idea clara de cómo las matemáticas forman modelos.

El carácter de los sistemas matemáticos

Al principio, cada expresión que un alumno encuentra puede evaluarse a un número que entienden, pero muy pronto aparecen $\frac 0 0$ y $\sqrt -1 $, sin embargo, se aferran al sentimiento de que "si puedes escribirlo, debe significar algo". Se tiene que resaltar que definimos lo que significan las expresiones de tal manera que nos ayude a resolver problemas, y a veces estas definiciones simplemente no pueden abarcar todos los casos sin implicar un comportamiento extraño, y por lo tanto acordamos considerar algunos casos como indefinidos. Esto hace que las matemáticas suenen como un proceso bastante arbitrario, pero la limitación de resolver problemas efectivamente lo convierte en una de las actividades humanas menos contingentes que existen. Por supuesto, después de haber hecho algunas definiciones, experimentamos con sus implicaciones, lo que da lugar a nuevos problemas, por lo que las matemáticas puras se alimentan de sí mismas así como de las aplicaciones. Descubrimos que podemos crear cosas de una manera inevitable.

Operaciones algorítmicas vs. operaciones de búsqueda de soluciones

Podemos distinguir operaciones algorítmicas como la suma, multiplicación y elevar a potencias, de operaciones de búsqueda de soluciones como la resta, división y la extracción de raíces. Las operaciones en la primera clase están definidas por algún algoritmo que termina (como incremento repetido, adición o multiplicación), a menudo en forma de una definición recursiva, que mostramos que termina. Las operaciones en la segunda clase están definidas como soluciones a ecuaciones, es decir, se requiere que produzcan números que, cuando se combinan usando operaciones previamente definidas, den un resultado específico.

Más generalmente, podemos tener condiciones que no están escritas como ecuaciones, y podemos estar operando en entidades diferentes a los 'números' (¡cualquiera que sean!1).

Nuevos números para hacer ecuaciones insolubles solubles

A veces encontramos que nuestra condición puede cumplirse con miembros del conjunto definido hasta ahora. Por ejemplo, dados los números $a$ y $b$, queremos resolver $ a + n =b $ para $n$, y llamarlo $ b - a $; entonces, dado que $ 1 + 2 = 3 $, decimos que $ 3 - 1 = 2 $. En otros momentos, encontramos que no hay tal solución, por ejemplo, no hay un número natural (de conteo) $n$ tal que $ 3 + n = 2 $ — esto es cuando nos preguntamos si podemos definir $ 2 - 3 $. Así que pasamos de los naturales a los enteros.

Dada una tipo de ecuación que estamos tratando de resolver, esperamos poder definir los nuevos 'números' de una manera útil:

• Deberían incluir los números viejos, o algo muy similar a ellos.
• Queremos poder aplicarles las operaciones existentes.
• Queremos que cumplan con las mismas reglas que cumplían los números viejos.

Como la respuesta del duende dijo:

Puedes definir $\frac 0 0$ como quieras; puede ser 0, o 1, o π. Pero aquí está el truco: queremos que la elección de valor para $ \frac 0 0 $ sea compatible con las leyes aritméticas usuales.

De hecho, aunque puedes definirlo como quieras, puede que no seas muy popular si insistes en algo realmente extravagante, así que quizás es mejor decir "uno podría" etc.

Dos maneras de formalizar un nuevo sistema numérico

Normalmente encontramos que obedecer las reglas existentes significa que varias expresiones, como $ 2 - 3 $ y $ 3 - 4 $, deberían tener el mismo valor. Una forma de lidiar con eso es definir clases de equivalencia de pares de números (si la operación es binaria) que deberían dar el mismo valor; entonces mostramos que podemos definir las diversas operaciones en los pares de manera que respeten las clases y funcionen como en la situación original.

Otra forma de resolverlo es introducir uno o dos símbolos nuevos y una sintaxis para combinarlos: entonces podríamos definir los enteros como expresiones formales de la forma $+n$ o $-n$, y mostrar que estas expresiones formales se comportan como se desea. De manera similar, introducir $i$ nos permite definir los números complejos.

Estas son dos formas importantes de construir un 'modelo de trabajo' formal de un sistema numérico, pero hay muchas otras, como los cortes de Dedekind, la construcción de von Neumann de $\mathbb N$ como 'conjuntos libres' y la construcción de Conway de los números surrealistas.

El error en la pregunta

El problema con $\frac 0 0$ en esta pregunta surge parcialmente por no reconocer que las expresiones formales que introducimos solo tienen aquellas propiedades que nosotros (definimos consistentemente) que tengan y todo lo que se siga de ellas. Un problema mayor, sin embargo, es no darse cuenta de que las expresiones formales no significan automáticamente nada, hasta que hayamos mostrado que ellos reproducen los números viejos como un subconjunto. Una vez que nos damos cuenta de que no significan automáticamente nada, es más fácil aceptar que nuestra definición puede excluir expresiones como $\frac 0 0$ (o llamarlas 'indefinidas') para garantizar un comportamiento deseable del nuevo sistema numérico.

Otro error en la pregunta tal como se formuló inicialmente fue asumir que las nuevas expresiones se comportarían como los números de los que fueron construidos, en lugar de considerar eso como algo a investigar.

El enfoque del conjunto de soluciones

La respuesta del duende, (después de hacer el punto esencial de que decidimos cómo definir expresiones) sugirió una definición alternativa de la división en términos del conjunto de soluciones de $a \times n = b$. Esto sugiere considerar $ \frac 0 0 $ como $ \mathbb R $ (¿por qué no $ \mathbb Q $ o $ \mathbb C $ … o incluso $ \mathbb Z $ o $ \mathbb N $ ?), pero no te ayuda a lidiar con $n^2 = -1$, que necesita el enfoque descrito anteriormente.

Notas

1 Como Dedekind preguntó, ¿Qué son los números y qué deberían ser? "¿Qué son los números y qué deberían ser?" ¡o posiblemente "... cual es su punto"!