Para cualquier innumerables $\kappa$, hay exactamente $2^\kappa$ compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$, hasta homeomorphism.
En primer lugar, vamos a demostrar que el límite superior (el siguiente argumento sólo requiere de $\kappa$ ser infinito). Supongamos $X$ es un compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $\kappa$. Para cada par de puntos distintos $x,y\in X$, elija una función continua $f_{xy}:X\to\mathbb{C}$ tal que $f_{xy}(x)\neq f_{xy}(y)$. Deje $A\subseteq C(X)$ ser el smalest $\mathbb{Q}[i]$-subalgebra, que contiene las funciones $f_{xy}$ y cerró en tomar complejos conjugados y positivo de las raíces cuadradas (cuando existen). A continuación,$|A|=\kappa$. Tenga en cuenta que el sup norma en $A$ puede ser definida usando sólo el complejo de la conjugación y el $\mathbb{Q}[i]$-álgebra estructura: $\|f\|^2$ es la inf de todos los $r\in\mathbb{Q}$ tal que $r-f\bar{f}$ tiene una raíz cuadrada que es su conjugado.
Por Stone-Weierstrass, $A$ es denso en $C(X)$, por lo que podemos recuperar $C(X)$ como la realización de $A$ con respecto a la sup de la norma. El complejo *-álgebra estructura de $C(X)$ también pueden ser recuperados desde el $\mathbb{Q}[i]$-álgebra estructura en $A$ y el complejo de la conjugación de operación $A$. Por Gelfand dualidad, $X$ puede ser recuperado hasta homeomorphism del complejo *-álgebra estructura de $C(X)$.
Por lo tanto, podemos recuperar $X$ hasta homeomorphism de la $\mathbb{Q}[i]$-álgebra con la conjugación $A$. Pero hay en la mayoría de las $2^\kappa$ estructuras de una $\mathbb{Q}[i]$-álgebra con la conjugación de una serie de $\kappa$. Por lo tanto, existen en la mayoría de las $2^\kappa$ opciones para $A$ hasta isomorfismo, por lo que hay en la mayoría de las $2^\kappa$ estos espacios de $X$ hasta homeomorphism.
Ahora podemos demostrar que existen $2^\kappa$ nonhomeomorphic compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$ (como se señaló en la pregunta, esta instrucción es equivalente a CH si $\kappa=\aleph_0$, por lo que tendremos que utilizar el uncountability de $\kappa$). La construcción es muy similar a mi respuesta a esta pregunta preguntando cuántas métrica espacios no son de una determinada cardinalidad, excepto que no podemos usar $\mathbb{Q}$ ya que necesitamos el espacio para ser compacto. Como resultado, tenemos que encontrar una manera diferente de "distinguir" ciertos puntos de nuestro espacio, vamos a hacerlo a través de los cofinality, que es donde el requisito de que $\kappa$ es incontable.
Primero vamos a hacer algunas definiciones. Si $X$ es un espacio topológico, $x\in X$, e $\lambda$ es un infinito regular el cardenal, digamos que $\lambda$ es un cofinality de $x$ si existe un continuo de inyección de $f:\lambda+1\to X$ tal que $f(\lambda)=x$. Nota, por ejemplo, si $X$ es un ordinal y $x\in X$ es un ordinal límite, a continuación, $x$ tiene sólo un cofinality en este sentido y de acuerdo con la noción usual de la cofinality de $x$. Más generalmente, si $X$ es un conjunto totalmente ordenado con el fin de topología, a continuación, $\lambda$ es un cofinality de $x$ fib $\lambda$ es el cofinality de $x$ desde abajo o desde la cofinality de $x$ desde arriba, en el orden de la teoría de la sensación.
Recordar también que la noción de Cantor-Bendixson rango. Si $X$ es un espacio topológico, escribir $D(X)$ para el conjunto de la no-puntos aislados de a $X$ ("el Cantor-Bendixson derivado de la $X$"). Para cada ordinal $\alpha$, definir $D^\alpha(X)$ por inducción:
Para $x\in X$, el mínimo de $\alpha$ tal que $x\not\in D^{\alpha+1}(X)$ se llama el Cantor-Bendixson rango de $x$ ($\alpha$ existe). Si $X$ es un ordinal y $x\in X$ es el ordinal $\omega^\alpha$ para algunos ordinal $\alpha$, entonces es bien sabido que $x$ ha Cantor-Bendixson rango $\alpha$.
Ahora estamos listos para construir nuestra $2^\kappa$ diferentes compacto Hausdorff espacios. Si $S$ es cualquier conjunto de los números ordinales, vamos a $\alpha=\sup S +1$ y deje $L_S$ ser totalmente conjunto ordenado obtenidos a partir de $\alpha$ mediante la inserción de una copia de $\omega^*$ (los números naturales con la clasificación inversa) entre $\beta$ $\beta+1$ por cada $\beta\in S$. Es fácil ver que $L_S$ es siempre Dedekind completa y acotado, y por lo tanto es compacto en el orden de la topología.
Ahora vamos a $T$ ser cualquier conjunto de los números ordinales con las siguientes propiedades:
$|T|=\kappa$, y cada elemento de a $T$ tiene cardinalidad $\kappa$.
Cada elemento de a $T$ tiene innumerables cofinality.
Es fácil ver que hay $2^\kappa$ tales conjuntos de $T$ (aquí es donde usamos ese $\kappa$ es incontable). Dado un $T$, vamos a $S=\{\omega^\alpha:\alpha\in T\}$ y considerar el espacio $L_S$. A continuación, $L_S$ es un compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $\kappa$; me dicen que se puede recuperar el conjunto $T$$L_S$. Cada punto de $\omega^\alpha$ $\alpha\in T$ tiene dos diferentes cofinalities en $L_S$: su habitual cofinality como un ordinal, que es incontable, y $\omega$, debido a la copia de $\omega^*$ hemos insertado justo por encima de $\omega^\alpha$. Por otra parte, estos son los únicos puntos de $L_S$ que tienen más de un cofinality. Por lo tanto podemos decir que el $T$ es el conjunto de todos los ordinales $\alpha$ tal que existe un punto de $L_S$ de Cantor-Bendixson rango $\alpha$ que tiene más de un cofinality.
Así, los espacios de $L_S$ son nonhomeomorphic para diferentes conjuntos de $T$, dando $2^\kappa$ nonhomeomorphic compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$.
