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Cuántos compacto Hausdorff espacios hay de un determinado cardinalidad?

Esta es una pregunta que me encontré preguntándome acerca de las últimas. Finalmente me di cuenta de la respuesta a mí mismo, pero como esto no parece ser escrito en cualquier lugar fácil de encontrar en Internet me decidí compartirlo aquí.

Deje $\kappa$ ser un incontable cardenal. Cuántos compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$ están allí, hasta homeomorphism?

Es bastante bien conocido que si $\kappa$ es un infinito cardenal, entonces no se $2^{2^\kappa}$ diferentes espacios topológicos de cardinalidad $\kappa$, hasta homeomorphism (consulte ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todas las topologías en $\mathbb{R}$?, por ejemplo). Por otro lado, también es bastante bien conocido que hay sólo $\aleph_1$ contables compacto Hausdorff espacios hasta homeomorphism (ya que todos ellos son homeomórficos contables ordinales; ver Contables espacios compactos como ordinales, por ejemplo). Así que no es obvio qué esperar la respuesta a la pregunta anterior.

29voto

DiGi Puntos 1925

Como una cuestión de gusto prefiero un argumento más elementales de Eric Wofsey's para mostrar que existen en la mayoría de las $2^\kappa$ compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$.

Lema. Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $\kappa$; a continuación,$\chi(X)\le\kappa$, es decir, cada punto tiene una base local de cardinalidad en la mayoría de las $\kappa$.

Prueba. Fix $x\in X$. Para cada una de las $y\in X\setminus\{x\}$ no son disjuntas abrir conjuntos de $U_y$ $V_y$ tal que $x\in U_y$$y\in V_y$. Deje $\mathscr{U}=\big\{U_y:y\in X\setminus\{x\}\big\}$, y vamos a $$\mathscr{B}=\left\{\bigcap\mathscr{F}:\mathscr{F}\subseteq\mathscr{U}\text{ and }\mathscr{F}\text{ is finite}\right\}\;.$$ Let $U$ be an open nbhd of $x$; $\{V_y:y\X\setminus U\}$ is an open cover of the compact set $X\setminus U$, so there is a finite $F\subseteq X\setminus U$ such that $\{V_y:y\F\}$ covers $U$. It follows that $\bigcap_{y\in F}U_y\subseteq U$ and hence that $\mathscr{B}$ is a local base at $x$. $\dashv$

Es un corolario inmediato de que $w(X)\le|X|\cdot\chi(X)\le\kappa$, es decir, que $X$ tiene una base de cardinalidad $\kappa$.

$X$ es Tikhonov de peso en la mayoría de las $\kappa$, lo $X$ puede ser integrado en el cubo de $[0,1]^\kappa$ de peso $\kappa$. $[0,1]^\kappa$ tiene más (de hecho, exactamente) $2^\kappa$ abierto subconjuntos, por lo que tiene en la mayoría de las $2^\kappa$ cerrada por subconjuntos. $X$ incorpora como uno de estos subconjuntos, por lo que hay en la mayoría de las $2^\kappa$ posibilidades de $X$.

23voto

Adam Malter Puntos 96

Para cualquier innumerables $\kappa$, hay exactamente $2^\kappa$ compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$, hasta homeomorphism.


En primer lugar, vamos a demostrar que el límite superior (el siguiente argumento sólo requiere de $\kappa$ ser infinito). Supongamos $X$ es un compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $\kappa$. Para cada par de puntos distintos $x,y\in X$, elija una función continua $f_{xy}:X\to\mathbb{C}$ tal que $f_{xy}(x)\neq f_{xy}(y)$. Deje $A\subseteq C(X)$ ser el smalest $\mathbb{Q}[i]$-subalgebra, que contiene las funciones $f_{xy}$ y cerró en tomar complejos conjugados y positivo de las raíces cuadradas (cuando existen). A continuación,$|A|=\kappa$. Tenga en cuenta que el sup norma en $A$ puede ser definida usando sólo el complejo de la conjugación y el $\mathbb{Q}[i]$-álgebra estructura: $\|f\|^2$ es la inf de todos los $r\in\mathbb{Q}$ tal que $r-f\bar{f}$ tiene una raíz cuadrada que es su conjugado.

Por Stone-Weierstrass, $A$ es denso en $C(X)$, por lo que podemos recuperar $C(X)$ como la realización de $A$ con respecto a la sup de la norma. El complejo *-álgebra estructura de $C(X)$ también pueden ser recuperados desde el $\mathbb{Q}[i]$-álgebra estructura en $A$ y el complejo de la conjugación de operación $A$. Por Gelfand dualidad, $X$ puede ser recuperado hasta homeomorphism del complejo *-álgebra estructura de $C(X)$.

Por lo tanto, podemos recuperar $X$ hasta homeomorphism de la $\mathbb{Q}[i]$-álgebra con la conjugación $A$. Pero hay en la mayoría de las $2^\kappa$ estructuras de una $\mathbb{Q}[i]$-álgebra con la conjugación de una serie de $\kappa$. Por lo tanto, existen en la mayoría de las $2^\kappa$ opciones para $A$ hasta isomorfismo, por lo que hay en la mayoría de las $2^\kappa$ estos espacios de $X$ hasta homeomorphism.


Ahora podemos demostrar que existen $2^\kappa$ nonhomeomorphic compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$ (como se señaló en la pregunta, esta instrucción es equivalente a CH si $\kappa=\aleph_0$, por lo que tendremos que utilizar el uncountability de $\kappa$). La construcción es muy similar a mi respuesta a esta pregunta preguntando cuántas métrica espacios no son de una determinada cardinalidad, excepto que no podemos usar $\mathbb{Q}$ ya que necesitamos el espacio para ser compacto. Como resultado, tenemos que encontrar una manera diferente de "distinguir" ciertos puntos de nuestro espacio, vamos a hacerlo a través de los cofinality, que es donde el requisito de que $\kappa$ es incontable.

Primero vamos a hacer algunas definiciones. Si $X$ es un espacio topológico, $x\in X$, e $\lambda$ es un infinito regular el cardenal, digamos que $\lambda$ es un cofinality de $x$ si existe un continuo de inyección de $f:\lambda+1\to X$ tal que $f(\lambda)=x$. Nota, por ejemplo, si $X$ es un ordinal y $x\in X$ es un ordinal límite, a continuación, $x$ tiene sólo un cofinality en este sentido y de acuerdo con la noción usual de la cofinality de $x$. Más generalmente, si $X$ es un conjunto totalmente ordenado con el fin de topología, a continuación, $\lambda$ es un cofinality de $x$ fib $\lambda$ es el cofinality de $x$ desde abajo o desde la cofinality de $x$ desde arriba, en el orden de la teoría de la sensación.

Recordar también que la noción de Cantor-Bendixson rango. Si $X$ es un espacio topológico, escribir $D(X)$ para el conjunto de la no-puntos aislados de a $X$ ("el Cantor-Bendixson derivado de la $X$"). Para cada ordinal $\alpha$, definir $D^\alpha(X)$ por inducción:

  • $D^0(X)=X$

  • $D^{\alpha+1}(X)=D(D^\alpha(X))$

  • Para$\alpha$, $D^\alpha(X)=\bigcap_{\beta<\alpha} D^\beta(X)$.

Para $x\in X$, el mínimo de $\alpha$ tal que $x\not\in D^{\alpha+1}(X)$ se llama el Cantor-Bendixson rango de $x$ ($\alpha$ existe). Si $X$ es un ordinal y $x\in X$ es el ordinal $\omega^\alpha$ para algunos ordinal $\alpha$, entonces es bien sabido que $x$ ha Cantor-Bendixson rango $\alpha$.

Ahora estamos listos para construir nuestra $2^\kappa$ diferentes compacto Hausdorff espacios. Si $S$ es cualquier conjunto de los números ordinales, vamos a $\alpha=\sup S +1$ y deje $L_S$ ser totalmente conjunto ordenado obtenidos a partir de $\alpha$ mediante la inserción de una copia de $\omega^*$ (los números naturales con la clasificación inversa) entre $\beta$ $\beta+1$ por cada $\beta\in S$. Es fácil ver que $L_S$ es siempre Dedekind completa y acotado, y por lo tanto es compacto en el orden de la topología.

Ahora vamos a $T$ ser cualquier conjunto de los números ordinales con las siguientes propiedades:

  • $|T|=\kappa$, y cada elemento de a $T$ tiene cardinalidad $\kappa$.

  • Cada elemento de a $T$ tiene innumerables cofinality.

Es fácil ver que hay $2^\kappa$ tales conjuntos de $T$ (aquí es donde usamos ese $\kappa$ es incontable). Dado un $T$, vamos a $S=\{\omega^\alpha:\alpha\in T\}$ y considerar el espacio $L_S$. A continuación, $L_S$ es un compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $\kappa$; me dicen que se puede recuperar el conjunto $T$$L_S$. Cada punto de $\omega^\alpha$ $\alpha\in T$ tiene dos diferentes cofinalities en $L_S$: su habitual cofinality como un ordinal, que es incontable, y $\omega$, debido a la copia de $\omega^*$ hemos insertado justo por encima de $\omega^\alpha$. Por otra parte, estos son los únicos puntos de $L_S$ que tienen más de un cofinality. Por lo tanto podemos decir que el $T$ es el conjunto de todos los ordinales $\alpha$ tal que existe un punto de $L_S$ de Cantor-Bendixson rango $\alpha$ que tiene más de un cofinality.

Así, los espacios de $L_S$ son nonhomeomorphic para diferentes conjuntos de $T$, dando $2^\kappa$ nonhomeomorphic compacto Hausdorff espacios de cardinalidad $\kappa$.

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