Cuando A y B son variables positivamente relacionadas, ¿pueden tener un efecto opuesto en su variable de resultado C?

Question

A está relacionado positivamente con B.

C es el resultado de A y B, pero el efecto de A en C es negativo y el efecto de B en C es positivo.

¿Esto puede suceder?

Answer 1

Las otras respuestas son realmente maravillosas: dan ejemplos de la vida real.

Quiero explicar por qué esto puede ocurrir a pesar de nuestra intuición contraria.

¡Ve esto geométricamente!

La correlación es el coseno del ángulo entre los vectores (centrados). Básicamente, estás preguntando si es posible que

• $A$ forme un ángulo agudo con $B$ (correlación positiva)
• $B$ forme un ángulo agudo con $C$ (correlación positiva)
• $A$ forme un ángulo obtuso con $C$ (correlación negativa)

Sí, por supuesto:

En este ejemplo ($\rho$ denota correlación):

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

¡Tu intuición es Correcta!

No obstante, tu sorpresa no está fuera de lugar.

El ángulo entre vectores es una métrica de distancia en la esfera unitaria, por lo que cumple con la desigualdad triangular:

$$\measuredangle AB \le \measuredangle AC + \measuredangle BC$$

así, dado que $\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$,

$$\arccos\rho(A,B) \le \arccos\rho(A,C) + \arccos\rho(B,C) $$

por lo tanto (dado que $\cos$ es decreciente en $[0,\pi]$)

$$\rho(A,B)\ge\rho(A,C)\times\rho(B,C) - \sqrt{(1-\rho^2(A,C))\times(1-\rho^2(B,C))} $$

Entonces,

• si $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$, entonces $\rho(A,B)\ge 0.62$
• si $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$, entonces $\rho(A,B)\ge 0.805$
• si $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$, entonces $\rho(A,B)\ge 0.9602$

Answer 2

Sí, dos condiciones que co-ocurren pueden tener efectos opuestos.

Por ejemplo:

• Hacer declaraciones escandalosas (A) está relacionado positivamente con ser entretenido (B).
• Hacer declaraciones escandalosas (A) tiene un efecto negativo en ganar elecciones (C).
• Ser entretenido (B) tiene un efecto positivo en ganar elecciones (C).

Answer 3

He escuchado esta analogía del automóvil que se aplica bien a la pregunta:

• Conducir cuesta arriba (A) está relacionado positivamente con el conductor pisando el acelerador (B)
• Conducir cuesta arriba (A) tiene un efecto negativo en la velocidad del vehículo (C)
• Pisar el acelerador (B) tiene un efecto positivo en la velocidad del vehículo (C)

La clave aquí es la intención del conductor de mantener una velocidad constante (C), por lo tanto la correlación positiva entre A y B sigue naturalmente de esa intención. Puedes construir ejemplos interminables de A, B, C con esta relación entonces.

La analogía proviene de una interpretación del Termostato de Milton Friedman y proviene de un análisis interesante de política monetaria y econometría, pero eso es irrelevante para la pregunta.

Answer 4

Sí, esto es trivial de demostrar con una simulación:

Simula 2 variables, A y B que están correlacionadas positivamente:

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

Crea la variable C:

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

Mira:

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

Editar: Alternativamente (como sugirió Kodiologist), simplemente simulando a partir de una normal multivariante tal que $\operatorname{cor}(A,B) > 0$, $\operatorname{cor}(A,C) > 0$ y $\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

Answer 5

$$ C = mB + n (A-proj_B(A)) $$

entonces $$ \left = m\left + n\left -n \left $$

Entonces la covarianza entre C y A podría ser negativa en dos condiciones:

1. $n>m,\ \left < \left (n-m)/n $
2. $n<-m,\ \left > \left (n-m)/n$