Intuición detrás de las permutaciones de las raíces en la teoría de Galois

Question

Lo que encuentro después de leer los libros es que sólo explican la definición conceptual y nadie menciona la explicación que hay detrás; He estado leyendo la teoría de Galois como mucha gente me dijo que leyera, así que me pregunto:

1. ¿Por qué son importantes las permutaciones de las raíces y cómo influyen en la resolubilidad de un polinomio?

   ¿Puede alguien explicar brevemente la intuición directa de por qué Galois consideró las permutaciones?

2. Por favor, díganme: ¿qué hace el grupo profinito $\mathrm{Gal}(\mathbb{\bar{Q}}/\mathbb{Q})$ ¿contiene?

   ¿Hay alguna intuición lógica detrás de eso, como quiero la respuesta en la forma, que si alguien pregunta lo que la secuencia de homología cuenta, su intuición se puede dar como "cuenta los agujeros que mapa a otra superficie".

Después de leer sobre la teoría de Galois, me parece que he entendido todo, pero hay grandes bloques que me hacen tropezar.

Por favor, ayúdenme a entender la intuición detrás de la teoría.

Muchas gracias a todos,

Answer 1

En primer lugar, recuerde que la "resolubilidad de un polinomio" tenía un significado muy específico: significaba encontrar las raíces como expresiones de los coeficientes, y específicamente expresiones que implican sólo las operaciones básicas de sumas (incluyendo la resta), multiplicación (incluyendo la división) y extracción de radicales. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación lineal y cuadrática son de este tipo, ya que las raíces de $p(x)=ax+b$ puede expresarse como $-b/a$ las raíces de $p(x)=ax^2+bx+c$ puede expresarse como $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ y $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ etc. Algo similar ocurre con los cúbicos y los bicuadrados.

¿Por qué son interesantes las permutaciones de las raíces? Hay que recordar que si se tiene una monic polinomio, entonces los coeficientes son funciones simétricas de las raíces: $$(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n) = x^n -(r_1+\cdots+r_n)x^{n-1} + \cdots + (-1)^n(r_1\cdots r_n).$$ Estos coeficientes son tales que si se permutan las raíces, los coeficientes no cambian.

Si definimos el funciones simétricas elementales en $r_1,\ldots,r_n$ de la siguiente manera: $$\begin{align*} s_0(r_1,\ldots,r_n) &= 1\\ s_1(r_1,\ldots,r_n) &= r_1+\cdots + r_n\\ s_2(r_1,\ldots,r_n) &= r_1r_2 + r_1r_3 + \cdots + r_1r_n + r_2r_3 + \cdots + r_{n-1}r_n\\ &\vdots\\ s_n(r_1,\ldots,r_n) &= r_1\cdots r_n; \end{align*}$$ es decir, $s_i(r_1,\ldots,r_n)$ es la suma de todos los productos posibles de $i$ raíces distintas; entonces tenemos $$(x-r_1)\cdots(x-r_n) = x^n + (-1)s_1(r_1,\ldots,r_n)x^{n-1} + \cdots+ (-1)^n s_n(r_1,\ldots,r_n).$$

Supongamos que $\sigma$ es una permutación de $\{1,\ldots,n\}$ . Si $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ es el conjunto de todos los polinomios racionales en $n$ variables, entonces $\sigma$ actúa sobre $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ por el mapeo $p(x_1,\ldots,x_n)$ a $p(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$ . Podemos entonces preguntar: ¿cuál es el subconjunto de $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ que se fija puntualmente por la acción de $S_n$ ? Está claro que las funciones simétricas elementales son fijas puntualmente; también lo son otras. Por ejemplo, $x_1^2+\cdots + x_n^2$ se fija puntualmente.

Los polinomios que son invariantes bajo la acción de $S_n$ son las "funciones simétricas" en $x_1,\ldots,x_n$ . Newton demostró que las funciones simétricas elementales generan las funciones simétricas: toda función simétrica puede expresarse como combinación de las funciones simétricas elementales.

Así que los coeficientes de un polinomio están íntimamente relacionados con las funciones simétricas de las raíces, que a su vez están íntimamente relacionadas con la acción de $S_n$ en las raíces.

Por ejemplo, consideremos la ecuación cuadrática desde esta perspectiva. Tenemos $$x^2 +bx + c = (x-r_1)(x-r_2),$$ así que $b=-(r_1+r_2)$ , $c=r_1r_2$ . Para expresar $r_1$ y $r_2$ por separado, utilizando $b$ y $c$ consideremos los polinomios simétricos $(r_1+r_2)^2$ y $(r_1-r_2)^2$ en las raíces. Como éstas son simétricas, se pueden expresar en términos de $b$ y $c$ (que generan los polinomios simétricos). En efecto, $$\begin{align*} (r_1+r_2)^2 &= (-(r_1+r_2))^2 = b^2;\\ (r_1-r_2)^2 &= (r_1+r_2)^2 - 4r_1r_2 = b^2 - 4c. \end{align*}$$ Así, $|r_1-r_2| = \sqrt{b^2 - 4c} $ Así que $r_1-r_2 = \sqrt{b^2-4c}$ o $r_1-r_2=-\sqrt{b^2-4c}$ . Desde $r_1+r_2 = -b$ tenemos $$\begin{align*} r_1 &= \frac{1}{2}\Bigl( (r_1+r_2) + (r_1-r_2)\Bigr) =\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}\Bigl( -b +\sqrt{b^2-4c}\Bigr)\\ \text{or}\\ \frac{1}{2}\Bigl( -b -\sqrt{b^2-4c}\Bigr) \end{array}\right.\\ r_2 &=\frac{1}{2}\Bigl( (r_1+r_2) - (r_1-r_2)\Bigr) = \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2}\Bigl( -b - \sqrt{b^2-4c}\Bigr)\\ \text{or}\\ \frac{1}{2}\Bigl( -b+\sqrt{b^2-4c}\Bigr) \end{array}\right. \end{align*}$$ que da la fórmula cuadrática habitual: una raíz de $x^2+bx+c$ es igual a $\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2}$ el otro es igual a $\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}$ .

Se puede utilizar un enfoque similar para la cúbica y la bicuadrática. La cuestión es si se puede hacer algo similar con la quíntica y superiores. Este enfoque directo en particular (originalmente debido a Lagrange) se encuentra con un problema: para resolver una cúbica, se termina teniendo que resolver una ecuación cuadrática en los polinomios simétricos elementales. Para resolver una bicuadrática, se acaba teniendo que resolver una cúbica. Pero para resolver una quíntica general, ¡acabas teniendo que resolver un polinomio de grado seis! Así que te encuentras con un obstáculo.

La Teoría de Galois estudia las raíces estudiando las "simetrías" entre las raíces, considerando sus permutaciones (que necesariamente dejan fijos los coeficientes), y considerando cómo ciertos subgrupos de $S_n$ dejar (o no) fijos los coeficientes u otras funciones de las raíces.

En cuanto a su segunda pregunta: el grupo $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ tiene, como cociente, cada grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ . Se sabe que esto incluye al menos todos los grupos solubles (un teorema de Shafarevich), así como muchos de los grupos simples no abelianos. Todavía es una cuestión abierta si cada está en el grupo de Galois de un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ . El grupo en sí puede describirse de forma abstracta, pero todavía no tenemos una buena "sensación" de él. De hecho, gran parte del trabajo sobre las representaciones de Galois (que fue clave para la demostración de la Conjetura de Taniyama-Shimura) tiene que ver con la comprensión de "sólo" la imagen de este grupo en grupos matriciales adecuados (es decir, tratar de entender la teoría de la representación para este grupo, con el fin de obtener alguna idea sobre el grupo en sí).

En cuanto a la "intuición": cualquier extensión infinita de Galois está completamente determinada por sus subextensiones finitas de Galois; por eso $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ es un grupo profinito: está determinado por los grupos de Galois de las subextensiones finitas que tiene como cocientes. Las posibles imágenes de un elemento $a\in\overline{\mathbb{Q}}$ bajo cualquier homomorfismo $\overline{\mathbb{Q}}\to\overline{\mathbb{Q}}$ que arregla $\mathbb{Q}$ debe ser otra raíz del polinomio mínimo de $\alpha$ por lo que el homomorfismo se restringirá a un automorfismo del cierre de Galois de $\mathbb{Q}(\alpha)$ . Cualquier elemento de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ está así determinada por su acción sobre estas extensiones finitas de Galois, y el límite inverso es una forma de "pegar" toda esta información de forma coherente. Pero el grupo está lejos de ser comprendido.

Answer 2

Para dar otro análisis (sobre el ya está bien la respuesta ):

La intuición detrás de Teoría de Galois es que para encontrar soluciones basadas en radicales (funciones polinómicas de los coeficientes), hay que hacerlo de forma consistente paso a paso.

En la teoría de Galois se construyen progresivamente extensiones de grupo de una ecuación polinómica de forma escalonada (o raíz por raíz). Pero como las raíces son desconocidas de antemano, ¿cómo empezamos y cómo seguimos?

La respuesta es que el orden de las raíces (o de las extensiones de grupo asociadas a cada raíz) no debe desempeñar ningún papel en el proceso, por lo que se puede obtener un resultado único e inequívoco (método consistente).

Como se ha mencionado esta consistencia tiene que ver con las permutaciones, lo que significa que si se sigue otro ordenamiento de los pasos, el resultado puede ser único e inequívoco (el ordenamiento de los pasos).

Esto significa que el estudio de las permutaciones de las raíces que dejan fijos los (campos de) coeficientes de la ecuación polinómica (extensiones del grupo de Galois) es importante en este estudio.

Esto se traduce en la Teoría de Galois moderna como la frase "Las extensiones del grupo de Galois son resolubles", por lo que la ecuación polinómica es resoluble por radicales. Pero Galois (en realidad Artin formuló la versión moderna del teorema) encontró que el grupo de Galois de un quíntico arbitrario no tiene esta propiedad (en el sentido del presente análisis esto significa que la estructura de los quínticos generales sí tiene ambigüedad en el proceso de costrucción de las extensiones de Galois de manera escalonada o raíz por raíz)

Referencias (sobre todo en relación con la memoria original de Galois y la evolución histórica)

1. EL PENSAMIENTO DE EVARISTE GALOIS Y EL FORMALISMO MODERNO
2. Las ideas de Evariste Galois: recuperar la motivación en el álgebra abstracta mediante la exploración de las fuentes originales
3. Galois y sus grupos (y sus referencias)
4. Obras originales de Evariste Galois, en math.SE (y referencias)
5. La (no tan) simple idea de la Teoría de Galois, en scribd
6. LA TEORÍA DE GALOIS DESPUÉS DE GALOIS
7. Teoría de Galois para principiantes

En concreto, la última referencia (7) hace explícito el análisis anterior y deriva el resultado central de Galois utilizando el álgebra abstracta básica:

El objetivo de este trabajo es demostrar la insolubilidad por radicales de la quíntica (de hecho de la general $n$ ecuación de grado para $n \ge 5$ ) utilizando sólo los fundamentos de grupos, anillos y campos de un de un primer curso estándar de álgebra. El hecho principal que será necesario saber es que si $\phi$ es un homomorfismo de grupo $G$ en el grupo $G'$ entonces $G' \sim G / \ker \phi$ y a la inversa, si $G/H \sim G'$ entonces $H$ es el núcleo de un homomorfismo de $G$ en $G'$ . El concepto de grupo de Galois, que guía toda la prueba, se definirá cuando se definirá cuando se presente. Con estos antecedentes, una prueba de irresolubilidad por de la insolubilidad por radicales puede construirse a partir de tres ideas básicas, que se se explicarán con más detalle a continuación:

1. Campos que contienen $n$ las indeterminaciones pueden ser "simetrizadas".
2. El grupo de Galois de una extensión radical es soluble.
3. El grupo simétrico $S_n$ no tiene solución.

Nota lateral importante

Para adquirir la intuición de por qué se utilizaron (o se enseñan hoy) determinados resultados o enfoques o formulaciones, hay que estudiar la evolución histórica de un determinado problema, cómo empezó, qué lo desencadenó y los distintos enfoques que se siguieron a lo largo del tiempo.

Por lo general, este aspecto rara vez (o nunca) se menciona en los cursos o conferencias de los libros de texto y la mayoría de las veces se presenta un resultado ya hecho que deja al estudiante en una sensación de resultado mágico que probablemente requiere poderes mágicos o un genio inexplicable para comprenderlo.

Pero siguiendo la evolución histórica el estudiante entra en contacto con la primera aparición de un problema y lo que lo desencadenó. Esto proporciona por sí mismo suficiente intuición tras una mera formulación formalista. Además, se ven paternidades recurrentes en los enfoques o variaciones del mismo enfoque aplicado (esto proporciona una visión unificada de los resultados y métodos que, de otro modo, parecerían totalmente inconexos).

Por último, hay que tener en cuenta que todo este conocimiento histórico (y las publicaciones y enfoques científicos) están disponibles en las bibliotecas e instituciones universitarias de prestigio (y sus residentes y empleados), mientras que normalmente no están disponibles en un estudiante en su propio estudio. Esto también explica por qué ciertos avances modernos en la ciencia fueron más tarde (?) encontrados en correlación con documentos o enfoques científicos pasados o antiguos que sólo están disponibles para aquellos que tienen acceso a instituciones como la Biblioteca Británica (o similar). Por no hablar del descubrimiento/invención independiente de la solución de un problema por parte de varias personas diferentes en distintas épocas y lugares, mientras que sólo una de ellas se da a conocer al público en general.