¿Puede Mickey Mouse dividir por $7$ ?

Question

En la figura que se muestra en la siguiente imagen :

Para encontrar el resto al dividir un número por $7$ , comienza en el nodo $0$ para cada dígito $D$ del número, avanza a lo largo de $D$ flechas negras (para el dígito $0$ no se mueven en absoluto), y al pasar de un dígito a otro, se mueven a lo largo de una sola flecha blanca.

Por ejemplo, dejemos que $n = 325$ . Comienza en el nodo $0$ , avanza $3$ flechas negras (al nodo $3$ ), entonces $1$ flecha blanca (al nodo $2$ ), entonces $2$ flechas negras (al nodo $4$ ), entonces $1$ flecha blanca (al nodo $5$ ), y finalmente $5$ flechas negras (al nodo $3$ ). Acabado en el nodo $3$ muestra que el resto al dividir $325$ por $7$ es $3$ .

Si intentas esto para un número que es divisible por $7$ , digamos que $63$ Siempre acabarás en el nodo $0$ . Por lo tanto, también se puede utilizar para probar la divisibilidad por $7$ . En caso de que al recorrer los dígitos del número $n$ , terminas en el nodo $0$ , $n$ es divisible por $7$ Si no, no.

¿Cuál es exactamente la explicación matemática de esto? ¿Existen también este tipo de gráficos para otros enteros?

Answer 1

Estos gráficos existen para cualquier número entero (distinto de cero). De hecho, las flechas reflejan dos operaciones básicas $\bmod 7$ :

• Las flechas negras representan la adición de uno (nótese que suben desde $0$ a $6$ y luego vuelve cíclicamente a $0$ de nuevo)
• Asimismo, las flechas blancas representan la multiplicación por $10$ ; tenga en cuenta que $5$ va a $1$ y esto refleja el hecho de que $5\times10=50\equiv 1\pmod 7$ .

Cualquier número dado puede escribirse como una combinación de estas dos operaciones sobre un valor inicial de cero; por ejemplo, su ejemplo $N=325$ equivale a empezar por cero, añadiendo $1$ tres veces (dando $3$ ), multiplicando por $10$ (dando $30$ ), añadiendo $1$ dos veces más (dando $32$ ), multiplicando por $10$ de nuevo (dando $320$ ), y luego añadir $1$ cinco veces más (dando $325$ ). El gráfico sólo representa estas operaciones $\bmod 7$ y, por lo tanto, si terminas en el nodo cero significa que tu número original era un múltiplo de 7; esto funciona porque tanto las operaciones de sumar uno como de multiplicar por diez "conmutan" a través de la operación mod-7 (es decir, $(n+1)\bmod 7$ $\equiv (n\bmod 7)+1\pmod 7$ y $(n\times10)\bmod 7$ $\equiv (n\bmod 7)\times 10\pmod 7$ ). Dado que las operaciones individuales conmutan con la operación mod, también lo hará cualquier combinación de ellas.

Pero no hay nada especial en $7$ aquí, y de hecho es suficiente para entender cómo construir el gráfico para cualquier base $b$ Número de un conjunto de $b$ nodos de $0$ a $b-1$ y luego construir una flecha negra a partir de $i$ a $i+1\pmod b$ para cada nodo $i$ y una flecha blanca de $j$ a $j\times10\pmod b$ para cada nodo $j$ . Esto dará el análogo del gráfico "Mickey Mouse" para esa base.