Si puedo generar una matriz aleatoria ¿cuál es la probabilidad de ser singular?

Question

Sólo una pregunta aleatoria que vino a mi mente al ver un álgebra lineal conferencia en línea. El profesor dijo que MATLAB siempre genera no singular de las matrices. Deseo saber que en el espacio de matrices aleatorias, ¿qué porcentaje están en singular? Es allí cualquier trabajo relacionado con esto?

Answer 1

Una matriz cuadrada es singular si y sólo si el determinante es cero. El determinante es un polinomio en las entradas de la matriz. Así que tu pregunta puede ser pensado como pidiendo que la probabilidad de que una matriz $A$, considerada como un punto en $\mathbb{R}^{n^2}$, aterrizará en la puesta a cero de un polinomio.

La puesta a cero de un polinomio tiene medida de Lebesgue 0. Para una prueba, véase, por ejemplo, http://www1.uwindsor.ca/math/sites/uwindsor.ca.math/files/05-03.pdf.

Por lo tanto, es común decir que esta probabilidad es cero.

Nota esto no es estrictamente correcto, porque la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^{n^2}$ no es una medida de probabilidad. Si las entradas de la matriz son, digamos, (multivariante) se distribuye normalmente, se trabaja con una real probabilidad de medir, pero la probabilidad todavía es cero debido a que esta medida es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.

Answer 2

El math parte de la pregunta se ha contestado ya, y la probabilidad es matemáticamente 0 de hecho. Acerca de la MATLAB a pesar de que, los equipos no funcionan en precisión infinita, y no realizar todos los cálculos numéricos con 100% de precisión.

Para cualquier obstante, la precisión de alta que se puedan establecer, un equipo que sólo generar un número finito de distintas matrices. Así, en lugar de una serie de matrices en $\mathbb{R} ^ {n ^ 2}$, que se parece más a un discreto y finito subconjunto de los mismos.

También, el calculo de determinantes de cada una de las matrices se cierre, pero no se garantiza la igualdad, el valor matemático, de nuevo debido a la precisión limitada y acumulada de los errores. Algunos de los factores determinantes de la voluntad de evaluar a 0 (a veces, cuando no debe, que ha sido una larga conocida maldición numérico de programación).

En este contexto, la probabilidad de obtener un singular de la matriz es todavía pequeño, pero no 0. En ese sentido, la declaración de that MATLAB always generates non-singular matrices probablemente debería ser tomado como "MATLAB siempre va a generar una matriz cuyo determinante, según lo evaluado por MATLAB sí, está garantizado para ser no-0".

Answer 3

El conjunto de singular matrices es el ajuste a cero de la función determinante y por lo tanto es una hipersuperficie en $M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$. Como tal, tiene medida cero. Por lo tanto, la probabilidad de una matriz aleatoria ser singular es cero.

Answer 4

Si usted quiere construir algunos intuición para matrices donde los elementos son aleatorios, se puede considerar en primer lugar que cualquier elemento (posición en la matriz): $$\text{Matrix element } {\bf A}_{ij} \text{ will be at position } {\bf e_i}{\bf e_j}^T$$ Donde $\bf e_k$ es el estándar de la base de vectores con $1$ en la posición $k$ $0$ en otros lugares. Esto hace que la matriz de una combinación lineal de tales matrices donde los pesos de la combinación lineal son escalares variables aleatorias. Ahora usted puede tomar un vistazo a la de Sherman-Morrison fórmula para la inversa de un rango de 1 perturbación de una matriz. Dice:

$$({\bf A}+{\bf uv}^T)^{-1} = {\bf A}^{-1}-\frac{{\bf A}^{-1}{\bf uv}^T{\bf A}^{-1}}{1+{\bf v}^T{\bf A}^{-1}{\bf u}}$$

Esta fórmula se rompe para nosotros si el denominador es igual a cero: $1+{\bf v}^T{\bf A}^{-1}{\bf u} = 0$, que es el caso cuando la inversa deja de existir - que es cuando el (actualizado) de la matriz ${\bf A}+{\bf uv}^T$ se convierte en singular. Así que es lo que debe ocurrir por la oportunidad de dejar la no singularidad.

Answer 5

Esto dependerá de los parámetros de la creación de los números aleatorios. Son enteros, son reales, lo que es los límites superior e inferior?
Una vez que usted sabe las respuestas a estas preguntas, es posible determinar la probabilidad.

Si usted permite, por ejemplo, sólo números aleatorios, como se muestra en regular 6 colindado mueren, (entero, real, de la serie: 1,2,3,4,5,6), a continuación, las probabilidades son en realidad bastante razonable.
Sin embargo, si usted permite que vales 1-6 incluyendo la no-enteros mediante la definición de un programa de 32 bits en coma flotante (o de 64 bits o de algo grande), entonces las probabilidades son esencialmente cero, y cuando se termina con x/h como h enfoques infinito, dando así la respuesta de cualquiera de epsilon o cero dependiendo de su preferencia y argumento.

Epsilon es una pequeña, pequeña, pequeña cantidad. Referencia: https://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-definition_of_limit