Prueba para el área de un círculo de cálculo

Question

Yo estaba buscando pruebas utilizando el Cálculo del área de un círculo y venir a través de este $$\int 2 \pi r \, dr = 2\pi \frac {r^2}{2} = \pi r^2$$ y me llamó la atención por ser muy fácil. La única otra prueba que he visto fue por un maestro y que implican la integración de $x = \sqrt{r^2 - y^2}$ de $-1$ a $1$, usando sustituciones trigonométricas y, a continuación, duplicar el área para obtener $\pi r^2$, pero la anterior prueba parecía mucho más directa.

Es una prueba válida, o está basada en la lógica circular o algún otro tipo de falacia?

Answer 1

$$\int_0^a 2 \pi r \,dr$$ la integral anterior parece geométricamente como figura.

Answer 2

Posiblemente la prueba de que has encontrado es lo que el artículo de la Wikipedia para el área de un disco se llama "La Cebolla"a Prueba.

A pesar de que sería probable que el uso de la siguiente integral doble en su lugar:

$$\text{Área del círculo} = \iint_{x^2 + y^2 \leq R}1 \, dx\,dy$$

y, a continuación, calcular la integral usando coordenadas polares para obtener

$$\iint_{x^2 + y^2 \leq R}1 \, dxdy = \int_0^{2 \pi} \int_0^R R \, dr\,d\theta = \int_0^R 2\pi r \, dr = \pi R^2$$

Answer 3

Hay una fórmula simple mediante integrales de línea: si $\,\gamma\,$ es un simple, cerrado y liso (al menos por partes) camino (en la dirección positiva), el área de la región acristalada es igual a $\frac{1}{2}\oint_\gamma x\, y\ dy, dx$ $

En nuestro caso, podemos tomar la ruta de acceso $\,\gamma (t) = (r\cos t\,, \, r\sin t) \,\,,\,t\in [0,2\pi) \,$ y recibe $$ \frac {1} {2} \int_0^ {2\pi} r ^ 2 \,dt=\frac (\cos^2t+\sin^2t) {r ^ 2} {2} \int_0^ {2\pi} dt = \pi r ^ 2

Answer 4

Me gustaría mostrar otro método de cómo podemos demostrar que el área del círculo es de $\pi r^2$ por el uso de infinity parte de un círculo. La que divide a sólo 8 piezas en mi foto para demostrar cómo aplicar ese método, pero tenemos que tener infinitas partes divididas para obtener una exacta de la forma del rectángulo. Después de eso, Nos puede escribir fácilmente que

Área del círculo = $\pi r .r =\pi r^2$

Nota: he supuesto que sabemos que la circunferencia es de $2nr$

Answer 5

Sólo una observación. El llamado de cebolla prueba es un caso especial de la co-fórmula del área. Esta fórmula es una rigurosa justificación de todos los cálculos que hemos aprendido en el primer curso de física general. Se trata de un "curvilíneo" la generalización del teorema de Fubini: en lugar de rodajas, integrar sobre hypersurfaces como una esfera. Y también el hecho de que "diferenciar el volumen da a la zona" es una consecuencia del mismo teorema.