Teorema: Vamos a G ser un grupo con un subgrupo normal H. Un entero positivo k y una secuencia \left(a_i\right)_{i=1}^k de los elementos de G se dan. Un par de productos de la a_is'es un elemento de la formaa_ia_ji,j\in\{1,2,\ldots,k\}i\neq j. Denotar por \ell la cardinalidad del conjunto de elementos de orden 2 del factor grupo G/H, y deje p q ser enteros positivos. Si p\geq 3, q\geq 2, G/H tiene un elemento de orden no es igual a 1 o 2, e k\geq\min\big\{(p-3)\ell+(p+2q-4),pq-p-q+2\big\}\,,\tag{1}
o si q\geq 2 y todos los que no son elementos de identidad de G/H son de orden 2 k\geq\min\big\{(p-1)\ell+p,pq-p-q+2\big\}\,,\tag{2}
entonces existe una larga de \left(a_i\right)_{i=1}^k de la longitud de la p con todo el par de productos en H o de larga duración q con todas par de productos que no están en H. Además, si p\geq 3, q\geq 2, a_1,a_2,\ldots,a_k\notin G\setminus H, y k\geq \min\big\{(p-3)\ell+(2q-1),pq-p-q+2\big\}\,,\tag{3}
o si todos los que no son elementos de identidad de G/H son de orden 2 k\geq\min\big\{(p-1)\ell+1,pq-p-q+2\big\}\,,\tag{4}
entonces existe una larga de \left(a_i\right)_{i=1}^k de la longitud de la p con todo el par de productos en H o de larga duración q con todas par de productos que no están en H.
Nitidez: Los límites anteriores son afilados. Si \ell\geq q-1, luego tome g_1,g_2,\ldots,g_{q-1}\notin H de manera tal que los elementos de la g_iH\in G/H son parejas distintas y de orden 2. Vamos a_{(p-1)\mu+\nu+1}:=g_{\mu+1} for each \mu=0,1,2,\ldots,p-2 and \nu=0,1,2,\ldots,p-2. Then, it is easy to see that the sequence \left(a_1,a_2,\ldots,a_{pq-p-q+1}\right) ha no deseado subsecuencias.
A partir de ahora, vamos a suponer que \ell<q-1. A continuación, tome la g_1,g_2,\ldots,g_\ell\notin H de manera tal que los elementos de la g_iH\in G/H son parejas distintas y de orden 2. Si a_1,a_2,\ldots,a_k\notin H es necesario, entonces podemos tomar
a_{(p-1)\mu+\nu+1}:=g_{\mu+1} for all \mu=0,1,2,\ldots,\ell-1 and \nu=0,1,\ldots,p-2. This shows that (4) is sharp. If G/H has an element xH with x\in G such that xH is non-identity and not of order 2 in G/H, entonces también podemos añadir aún más
a_{(p-1)\ell+2j-1}:=x\text{ and }a_{(p-1)\ell+2j}:=x^{-1}
para j=1,2,\ldots,q-1-\ell. Ergo, (3) es fuerte.
Ahora, nos permitir a_1,a_2,\ldots,a_kH. A continuación, dejamos a_1,a_2,\ldots,a_{(p-1)\ell} ser como en el párrafo anterior. Si G/H no tiene elementos de orden no es igual a 1 o 2, a continuación, establezca
a_{(p-1)\ell+j}:=1_G
para j=1,2,\ldots,p-1. Por lo tanto, (2) es fuerte. Si G/H tiene un elemento xH orden no es igual a 1 o 2, además de tomar
a_{(p-1)(\ell+1)+2j-1}:=x\text{ and }a_{(p-1)(\ell+1)+2j}:=x^{-1}
para j=1,2,\ldots,q-2-\ell. De allí, (1) es fuerte.
Casos triviales: Si p=1 o q=1, luego tenemos a la obvia enlazado k\geq 1. Si p=2q\geq 2, entonces (1) debe ser sustituido por k\geq q+1 y (2) por k\geq \min\{\ell+2,q\}, mientras que (3) debe ser sustituido por k\geq q y (4) por k\geq\min\{\ell+1,q\}. Estos trivial límites están claramente sharp.
Prueba del Teorema: Aquí, suponemos que p\geq 3q\geq 2. Vamos u:=\Big|\big\{i\in\{1,2,\ldots,k\}\,|\,a_i\in H\big\}\Big|\,, v:=\Big|\big\{i\in\{1,2,\ldots,k\}\,|\,a_i\notin H\text{ and }a_i^2\in H\big\}\Big|\,, and w:=k-u-v=\Big|\big\{i\in\{1,2,\ldots,k\}\,|\,a_i^2\notin H\big\}\Big|\,. Suppose that the sequence a_1,a_2,\ldots,a_k has neither a subsequencs of length p with pair products in H nor a subsequence of length p with pair products not in H. The proof is done via contrapositivity.
We shall first prove the claim when a_1,a_2,\ldots,a_k\noen H (i.e., when u=0). Then, it is clear that \left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil+\left\lceil\frac{w}{2}\right\rceil\leq q-1\text{ and }\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil\leq \min\{\ell,q-1\}\,. Consequently, if t:=\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil, then w\leq 2(q-1-t) and t\leq \min\{\ell,q-1\}, so that, if p\geq 3, we have \begin{align}k&=v+w\leq (p-1)t+2(q-1-t)=(p-3)t+2q-2\\&<\min\big\{(p-3)\ell+(2q-1),pq-p-q+2\big\}\\&\leq \min\big\{(p-3)\ell+(p+2q-4),pq-p-q+2\big\}\,.\end{align} If G/H has no non-identity element of order not equal to 2, then w=0, whence \begin{align}k&=v\leq (p-1)t\\&<\min\big\{(p-1)\ell+1,pq-p-q+2\big\}\\&\leq \min\big\{(p-1)\ell+p,pq-p-q+2\big\}\,.\end{align}
From now on, we assume that u> 0. Then, it is obvious that u\leq p-1. Also, we have \left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil+\left\lceil\frac{w}{2}\right\rceil\leq q-2\text{ and }\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil\leq \min\{\ell,q-2\}\,, provided that q\geq 2. Let t be as defined before. Then, \begin{align}k&=u+v+w\leq (p-1)+(p-1)t+2(q-2-t)=(p-3)t+(p+2q-5)\\&<\min\big\{(p-3)\ell+(p+2q-4),pq-p-q+2\big\}\,.\end{align} Finally, if all non-identity elements of G have order 2, then w=0 and k=u+v\leq (p-1)+(p-1)t<\min\big\{(p-1)\ell+p,pq-p-q+2\big\}\,.
En particular, vamos a G ser un grupo con una normal y adecuada de los subgrupos H tal que, para todos los g\in G, g^2\in H implica g\in H. Para cualquier entero n\geq 3 y para una secuencia \left(a_i\right)_{i=1}^k de los elementos de la G, si k\geq 3n-4\,, then either there exists a subsequence of length n such that the product of any two entries is in H, or a subsequence of length n such that the product of any two entries is not in H. Furthermore, if a_1,a_2,\ldots,a_k\G\setminus H and k\geq 2n-1\,, then there exists a subsequence of length n such that the product of any two terms is not in H. Ambos límites son nítidas.
P. S.: Por un determinado número entero d\geq 3, ¿qué pasaría si el par de productos son reemplazados por d-ary productos a_{i_1}a_{i_2}\ldots a_{i_d} donde i_1,i_2,\ldots,i_d\in\{1,2,\ldots,k\} son parejas distintas?