Teorema: Vamos a $G$ ser un grupo con un subgrupo normal $H$. Un entero positivo $k$ y una secuencia $\left(a_i\right)_{i=1}^k$ de los elementos de $G$ se dan. Un par de productos de la $a_i$s'es un elemento de la forma$a_ia_j$$i,j\in\{1,2,\ldots,k\}$$i\neq j$. Denotar por $\ell$ la cardinalidad del conjunto de elementos de orden $2$ del factor grupo $G/H$, y deje $p$ $q$ ser enteros positivos. Si $p\geq 3$, $q\geq 2$, $G/H$ tiene un elemento de orden no es igual a $1$ o $2$, e $$k\geq\min\big\{(p-3)\ell+(p+2q-4),pq-p-q+2\big\}\,,\tag{1}$$
o si $q\geq 2$ y todos los que no son elementos de identidad de $G/H$ son de orden $2$ $$k\geq\min\big\{(p-1)\ell+p,pq-p-q+2\big\}\,,\tag{2}$$
entonces existe una larga de $\left(a_i\right)_{i=1}^k$ de la longitud de la $p$ con todo el par de productos en $H$ o de larga duración $q$ con todas par de productos que no están en $H$. Además, si $p\geq 3$, $q\geq 2$, $a_1,a_2,\ldots,a_k\notin G\setminus H$, y $$k\geq \min\big\{(p-3)\ell+(2q-1),pq-p-q+2\big\}\,,\tag{3}$$
o si todos los que no son elementos de identidad de $G/H$ son de orden $2$ $$k\geq\min\big\{(p-1)\ell+1,pq-p-q+2\big\}\,,\tag{4}$$
entonces existe una larga de $\left(a_i\right)_{i=1}^k$ de la longitud de la $p$ con todo el par de productos en $H$ o de larga duración $q$ con todas par de productos que no están en $H$.
Nitidez: Los límites anteriores son afilados. Si $\ell\geq q-1$, luego tome $g_1,g_2,\ldots,g_{q-1}\notin H$ de manera tal que los elementos de la $g_iH\in G/H$ son parejas distintas y de orden $2$. Vamos $$a_{(p-1)\mu+\nu+1}:=g_{\mu+1}$$ for each $\mu=0,1,2,\ldots,p-2$ and $\nu=0,1,2,\ldots,p-2$. Then, it is easy to see that the sequence $\left(a_1,a_2,\ldots,a_{pq-p-q+1}\right)$ ha no deseado subsecuencias.
A partir de ahora, vamos a suponer que $\ell<q-1$. A continuación, tome la $g_1,g_2,\ldots,g_\ell\notin H$ de manera tal que los elementos de la $g_iH\in G/H$ son parejas distintas y de orden $2$. Si $a_1,a_2,\ldots,a_k\notin H$ es necesario, entonces podemos tomar
$$a_{(p-1)\mu+\nu+1}:=g_{\mu+1}$$ for all $\mu=0,1,2,\ldots,\ell-1$ and $\nu=0,1,\ldots,p-2$. This shows that (4) is sharp. If $G/H$ has an element $xH$ with $x\in G$ such that $xH$ is non-identity and not of order $2$ in $G/H$, entonces también podemos añadir aún más
$$a_{(p-1)\ell+2j-1}:=x\text{ and }a_{(p-1)\ell+2j}:=x^{-1}$$
para $j=1,2,\ldots,q-1-\ell$. Ergo, (3) es fuerte.
Ahora, nos permitir $a_1,a_2,\ldots,a_k$$H$. A continuación, dejamos $a_1,a_2,\ldots,a_{(p-1)\ell}$ ser como en el párrafo anterior. Si $G/H$ no tiene elementos de orden no es igual a $1$ o $2$, a continuación, establezca
$$a_{(p-1)\ell+j}:=1_G$$
para $j=1,2,\ldots,p-1$. Por lo tanto, (2) es fuerte. Si $G/H$ tiene un elemento $xH$ orden no es igual a $1$ o $2$, además de tomar
$$a_{(p-1)(\ell+1)+2j-1}:=x\text{ and }a_{(p-1)(\ell+1)+2j}:=x^{-1}$$
para $j=1,2,\ldots,q-2-\ell$. De allí, (1) es fuerte.
Casos triviales: Si $p=1$ o $q=1$, luego tenemos a la obvia enlazado $k\geq 1$. Si $p=2$$q\geq 2$, entonces (1) debe ser sustituido por $k\geq q+1$ y (2) por $k\geq \min\{\ell+2,q\}$, mientras que (3) debe ser sustituido por $k\geq q$ y (4) por $k\geq\min\{\ell+1,q\}$. Estos trivial límites están claramente sharp.
Prueba del Teorema: Aquí, suponemos que $p\geq 3$$q\geq 2$. Vamos $$u:=\Big|\big\{i\in\{1,2,\ldots,k\}\,|\,a_i\in H\big\}\Big|\,,$$ $$v:=\Big|\big\{i\in\{1,2,\ldots,k\}\,|\,a_i\notin H\text{ and }a_i^2\in H\big\}\Big|\,,$$ and $$w:=k-u-v=\Big|\big\{i\in\{1,2,\ldots,k\}\,|\,a_i^2\notin H\big\}\Big|\,.$$ Suppose that the sequence $a_1,a_2,\ldots,a_k$ has neither a subsequencs of length $p$ with pair products in $H$ nor a subsequence of length $p$ with pair products not in $H$. The proof is done via contrapositivity.
We shall first prove the claim when $a_1,a_2,\ldots,a_k\noen H$ (i.e., when $u=0$). Then, it is clear that $$\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil+\left\lceil\frac{w}{2}\right\rceil\leq q-1\text{ and }\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil\leq \min\{\ell,q-1\}\,.$$ Consequently, if $t:=\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil$, then $w\leq 2(q-1-t)$ and $t\leq \min\{\ell,q-1\}$, so that, if $p\geq 3$, we have $$\begin{align}k&=v+w\leq (p-1)t+2(q-1-t)=(p-3)t+2q-2\\&<\min\big\{(p-3)\ell+(2q-1),pq-p-q+2\big\}\\&\leq \min\big\{(p-3)\ell+(p+2q-4),pq-p-q+2\big\}\,.\end{align}$$ If $G/H$ has no non-identity element of order not equal to $2$, then $w=0$, whence $$\begin{align}k&=v\leq (p-1)t\\&<\min\big\{(p-1)\ell+1,pq-p-q+2\big\}\\&\leq \min\big\{(p-1)\ell+p,pq-p-q+2\big\}\,.\end{align}$$
From now on, we assume that $u> 0$. Then, it is obvious that $u\leq p-1$. Also, we have $$\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil+\left\lceil\frac{w}{2}\right\rceil\leq q-2\text{ and }\left\lceil\frac{v}{p-1}\right\rceil\leq \min\{\ell,q-2\}\,,$$ provided that $q\geq 2$. Let $t$ be as defined before. Then, $$\begin{align}k&=u+v+w\leq (p-1)+(p-1)t+2(q-2-t)=(p-3)t+(p+2q-5)\\&<\min\big\{(p-3)\ell+(p+2q-4),pq-p-q+2\big\}\,.\end{align}$$ Finally, if all non-identity elements of $G$ have order $2$, then $w=0$ and $$k=u+v\leq (p-1)+(p-1)t<\min\big\{(p-1)\ell+p,pq-p-q+2\big\}\,.$$
En particular, vamos a $G$ ser un grupo con una normal y adecuada de los subgrupos $H$ tal que, para todos los $g\in G$, $g^2\in H$ implica $g\in H$. Para cualquier entero $n\geq 3$ y para una secuencia $\left(a_i\right)_{i=1}^k$ de los elementos de la $G$, si $$k\geq 3n-4\,,$$ then either there exists a subsequence of length $n$ such that the product of any two entries is in $H$, or a subsequence of length $n$ such that the product of any two entries is not in $H$. Furthermore, if $a_1,a_2,\ldots,a_k\G\setminus H$ and $$k\geq 2n-1\,,$$ then there exists a subsequence of length $n$ such that the product of any two terms is not in $H$. Ambos límites son nítidas.
P. S.: Por un determinado número entero $d\geq 3$, ¿qué pasaría si el par de productos son reemplazados por $d$-ary productos $a_{i_1}a_{i_2}\ldots a_{i_d}$ donde $i_1,i_2,\ldots,i_d\in\{1,2,\ldots,k\}$ son parejas distintas?
