¿Por qué no de matemáticas en el seno de los ángulos de la misma como las matemáticas en los ángulos en grados?

Question

Me di cuenta de algo ahora. Esta es probablemente una pregunta estúpida, pero me voy a hacer de todos modos. Porque cuando descubro que mi comprensión de un tema es fundamentalmente defectuoso, me pongo nervioso.

Básicamente estoy suponer para demostrar que el ángulo marcado en rojo es $sin \space \alpha = \frac{3}{5}$. Tenga en cuenta que esta tarea es en la parte de la prueba sin calculadora. Mi primer pensamiento fue que la cosa es de 90 grados. Y el otro a los ángulos me puede ajustar fácilmente. AB es de 1 y 0.5. Y la longitud de AE es $\frac{\sqrt 5}{2}$. Así que calcular el ángulo de la parte inferior del triángulo.

$sin \space = \frac{BE}{AE} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt 5}{2}} = \frac{1}{\sqrt 5}$

Sé que el seno de los 90 es de 1, a la derecha. Ahora todo se cae a pedazos, el siguiente es el mal. El ángulo en la parte superior de la roja ángulo es igual a la que se acaba de calcular. Así que hice esto.

$1 - 2 \times \frac{1}{\sqrt 5}$
Y se espera que obtenga $\frac{3}{5}$, la cual no tengo. Las siguientes opciones es correcta.

$\arcsin(1) - 2 \times \arcsin(\frac{1}{\sqrt 5}) = 36.86$
$\arcsin(\frac{3}{5}) = 36.86$

¿Por qué no la expresión sin arcsen dar a me $\frac{3}{5}$ ? Espero que esto tenga sentido, yo voy a estar aquí pulsando F5 y actualización si hay más información es necesaria. Gracias por la entrada.

Answer 1

Un $sin$ de un ángulo no es el mismo como un ángulo, es una función del ángulo. Usted puede agregar ángulos: $$\alpha = \alpha_1+\alpha_2$$ Pero no la $sin$'s: $$\sin(\alpha) \neq \sin(\alpha_1)+\sin(\alpha_2)$$ De hecho, esto es cierto para la mayoría de las funciones, y esta propiedad se llama "no-aditividad".

Answer 2

Usted sabe que $\alpha+2\beta=90^\circ$. No hay ninguna regla que $\sin\alpha+2\sin\beta=1$. En matemáticas es la única y más importante cosa a la que se adhieren a reglas dadas y no accidentalmente "inventar" nuevos.

Para tu problema: Quizá la redacción de $\sin\alpha=x/y$ con algunos auxiliarly líneas (por ejemplo, la altura del triángulo) y sucesivamente se derivan $x$ $y$ a través de una cadena de Pitágoras aplicaciones.

EDIT: O mejor uso http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines y derivar el seno de cos.

Answer 3

Deje $\angle EAB = \alpha_1$. A continuación,$\sin(\alpha+\alpha_1)=2/\sqrt{5}$.

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

es decir, $\sin\alpha\cos\alpha_1+\cos\alpha\sin\alpha_1=2/\sqrt{5}$

$\cos\alpha_1=2/\sqrt{5}$ $\sin\alpha_1=1/\sqrt{5}$ (a partir de la figura)

Por lo tanto

$$2\sin\alpha+\cos\alpha=2\tag1$$

(Cancelación denominador $\sqrt 5$)

Si $\sin\alpha=3/5$$\cos\alpha=4/5$, es decir,

$$2\sin\alpha+\cos\alpha=2\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=2\tag2$$

Eq. $(1)$ = Eq. $(2)$

De ahí resultó...

También se $\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta$.
(Lo que se llama no-linealidad, probablemente la respuesta a la pregunta es esta)