Encontrar la suma de esta serie :$ \frac{1}{{1!2009!}} + \frac{1}{{3!2007!}} + \cdots + \frac{1}{{1!2009!}}$

Question

Encontrar la suma de esta serie :

$$\sum\limits_{\scriptstyle 1 \leqslant x \leqslant 2009 \cima {\scriptstyle x+y=2010 \cima \scriptstyle {\text{ }}x,y{\text{ impar}} }} {\frac{1}{{x!y!}}} = \frac{1}{{1!2009!}} + \frac{1}{{3!2007!}} + \cdots + \frac{1}{{1!2009!}}$$

He tratado de convertir en los coeficientes binomiales y me estoy haciendo una especie de $\dfrac{2^{2009}}{2009!}$

Por favor me ayude.

Answer 1

Usted tiene el derecho de idea. En primer lugar,

$$\sum_{k=0}^{1004}\frac1{(2k+1)!(2010-2k-1)!}=\frac1{2010!}\sum_{k=0}^{1004}\binom{2010}{2k+1}\;.$$

Ahora que la última suma es simplemente el número de impares del tamaño de los subconjuntos de un conjunto de $2010$ elementos. Desde la mitad de los subconjuntos de cualquier conjunto no vacío tiene cardinalidad impar, se trata simplemente de $2^{2009}$. Por lo tanto, la suma es $$\frac{2^{2009}}{2010!}\;.$$

Answer 2

Por la cancelación de las condiciones y la duplicación de los términos raros y dividiendo por $2$, la suma es $$ \begin{align} &\frac{1}{2010!}\frac12\left(\sum_{k=0}^{2010}\binom{2010}{k}-\sum_{k=0}^{2010}(-1)^k\binom{2010}{k}\right)\\[6pt] &=\frac{1}{2010!}\frac12\left((1+1)^{2010}-(1-1)^{2010}\right)\\[6pt] &=\frac{2^{2009}}{2010!} \end{align} $$