Estoy teniendo problemas con uno de los problemas en el libro Introducción al Álgebra Conmutativa por Atiyah y MacDonald. Está en la página 11, y es la última parte de la segunda pregunta.
Dado $R$ un anillo conmutativo con unidad. Podemos decir $f = \sum\limits_{i=0}^n r_ix^i \in R[x]$ es primitivo si $\langle r_0,r_1,...,r_n\rangle = R$, es decir, el ideal generado por los coeficientes de $f$$R$.
Demostrar que $fg$ es primitivo iff $f$ $g$ son primitivos.
El $\Rightarrow$ parte es fácil. Dicen, $f = \sum\limits_{i=0}^n r_ix^i$, $g = \sum\limits_{i=0}^m s_ix^i$; a continuación, $fg = \sum\limits_{i=0}^{m+n} c_ix^i$ donde $c_k = \sum\limits_{i + j = k}r_is_j$. Desde $fg$ es primitivo, existe un conjunto de $\{\alpha_i\} \subset R$, de tal manera que $\sum\limits_{i=0}^{m+n} \alpha_ic_i = 1$, para demostrar $f$ es primitivo, sólo tengo que escribir todos los $c_i$'s en términos de $r_i$'s, y $s_j$'s, entonces el grupo de todos los $r_i$ en consecuencia, la reorganización de ella un poco, y todo está perfectamente hecho. Y la prueba de la primitivity de $g$ es básicamente el mismo.
El $\Leftarrow$ parte es tan difícil. Dicen $f = \sum\limits_{i=0}^n r_ix^i$, $g = \sum\limits_{i=0}^m s_ix^i$ son primitivos, entonces existe $\{\alpha_i\}; \{\beta_i\} \subset R$, de tal manera que $\sum\limits_{i=0}^{n} \alpha_ir_i = 1$, e $\sum\limits_{i=0}^{m} \beta_is_i = 1$. Al principio, pensé que de la multiplicación de los dos juntos, pero no funcionó. Así que, estoy atascado ya que no puedo ver ninguna otra manera de multiplicar la suma de dos juntos. Espero que ustedes me puede dar un pequeño empujón a esto.
Muchas gracias de antemano,
Y tener un buen día.
