Un nombre para esta distribución de la condición?

Question

Me han llegado a través de una necesaria condición de una distribución de probabilidad continua definida sobre $[0, \infty]$, y se preguntan si tiene un nombre. Para una distribución con CDF $F$ y pdf $f$ necesito que la cantidad: $$\phi(x) \equiv \frac{f(x)}{F(x)+xf(x)}$$ ser monótona no creciente. Poner la condición en otra forma (tomando derivados), el requisito es que para todos los $x \in [0,\infty]$ tal que $f'(x) > 0$: $$f(x) \geq \sqrt{\frac{F(x) f'(x)}{2}}$$

Este parece ser un generalmente satisfechos de la propiedad, por lo que hace tiene un nombre? Está relacionado, pero distinto de un tono monótono riesgo de tasa de condición.

Answer 1

Esta es casi la condición para la función de distribución acumulativa para ser de registro-cóncavo , que es una propiedad muy útil con muchas aplicaciones. Pero casi.

Una función de $F(x)$ es de registro-cóncava si

$$\frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le 0 \Rightarrow F''(x)F(x) - \left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

Escribir $\phi(x)$ en términos de $F(x)$

$$\phi(x) \equiv \frac{F'(x)}{F(x)+xF'(x)}$$

y queremos

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow F''(x)\Big(F(x)+xF'(x)\Big)-F'(x)\Big(F'(x)+F'(x) +xF''(x)\Big) \le 0$$

$$\Rightarrow F''(x)F(x)-2\left[F'(x)\right]^2 \le 0 $$

...lo cual no es suficiente para el registro de la concavidad, debido a la existencia de un factor de $2$.

Supongamos que se cumple con la condición. Si dividimos por $[F(x)]^2$ y reorganizar obtenemos

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow \frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le \left( \frac{F'(x)}{F(x)}\right)^2 = \left(\frac {\partial \ln F(x)}{\partial x}\right)^2$$