Se compara el promedio de los valores de una función aritmética

Question

Supongamos $f(n)$ es positivo con un valor real de la aritmética función tal que $$ \frac1n\sum_{k=1}^nf(k)\sim g(n) $$ para $g(x)$ una monótona creciente de la función. ¿Qué se puede decir sobre el comportamiento asintótico de $$ \sum_{k=1}^n\frac1kf(k) $$ ? A la inversa pregunta es también de interés. En ambos casos parece que la asymptotics debe ser bastante simple múltiplos de cada uno de los otros: $$ \frac1n\sum_{k=1}^nk\sim\frac12n $$ y $$ \sum_{k=1}^n\frac1kk\sim n $$ pero he visto los resultados, que esto no parece contener y quiero saber si están en lo correcto.

---

Tal vez el problema no puede ser resuelto sin más restricciones en $f$ o $g$. En el caso de interés inmediato, $f$ $g$ son esencialmente lineal, en la que existe una constante $k$ tal que $x/(\log x)^k\ll h(x)\ll x(\log x)^k$ $h\in\{f,g\}$ $x$ en el dominio correspondiente.

Answer 1

El asymptotics realmente dependen de la función $f$ en cuestión.

Si $f(x)$ tiene una función de potencia como su dominante plazo, con, digamos, $f(x) = x^p + o(x^p)$$p > 0$, entonces estás en lo correcto acerca de los dos asymptotics ser constante múltiplos de cada uno de los otros: $$\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k) &\sim \frac{1}{n}\frac{1}{p+1} n^{p+1} = \frac{1}{p+1} n^p, \\ \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k} &= \sum_{k=1}^n \left(k^{p-1} + o(k^{p-1})\right) \sim \frac{1}{p}n^p, \end{align}$$ donde usamos la fórmula para la suma de $k$th poderes (o de Euler-Maclaurin suma de $p$ no es un entero). Esto, por supuesto, incluye el caso lineal.

Sin embargo, si $f(x)$ $\log x$ como su dominante término, obtenemos el comportamiento observado por Antonio Vargas: $$\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k) &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\log k + o(\log k)\right) = \frac{1}{n} \left(\log n! + o(\log n!)\right) \sim \frac{n \log n}{n} = \log n,\\ \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k} &= \sum_{k=1}^n \left(\frac{\log k + o(\log k)}{k}\right) \sim \frac{1}{2} (\log n)^2, \end{align}$$ donde el primer asintótica de la siguiente manera a partir de la fórmula de Stirling y la segunda es una consecuencia de Euler-Maclaurin (véase, por ejemplo, Lema 2.11 en mi papel aquí).

Y, por supuesto, si $f(x)$ tiene una constante de $C$ como su dominante término, obtenemos $$\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k) &= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (C + o(1)) \sim C, \\ \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k} &= \sum_{k=1}^n \left(\frac{C + o(1)}{k}\right) \sim C \log n. \end{align}$$

---

Basado en esto, yo conjetura de que existe un punto de corte en la tasa de crecimiento de $f(x)$ que si $f(x)$ crece a un nivel suficientemente grandes tipos, a continuación, $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k)$ $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k}$ han asintótico de las tasas de crecimiento son constantes múltiplos. De lo contrario, $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k)$ es asintóticamente menor que $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k}$. Crecimiento de la energía sería por encima de ese punto de corte, y logarítmica de crecimiento por debajo de ella.