¿Pueden ambos $x$ y $\sin(x)$ racional al mismo tiempo?

Question

¿Pueden ambos $x$ y $\sin(x)$ racional al mismo tiempo?

Excepto, por supuesto, trivial $x = 0 caso de $ ($\sin0=0$); $x$ es medido en radianes.

La pregunta resultada para ser más complicada de lo que me pareció a primera vista.

Todo surgió, lo que plantea pregunta es equivalente a la pregunta de acorde y correspondiente, de arco de longitud racional.

Answer 1

Si $\sin x$ es racional entonces $$ e ^ {ix} = \pm\sqrt{1-\sin^2 x} + i\sin x $$ es un número algébrico sobre $\mathbb{Q}$ del grado a lo más $4$. Sin embargo, si x\in\mathbb ${Q} ^ + $ y $e ^ {ix} $ es un número trascendente, puesto que $e ^ {i} $ es un número trascendente.

Answer 2

La Lindemann–Weierstrass teorema muestra que, si $\alpha$ es un no-cero algebraica de números, entonces $e^{\alpha}$ es trascendental.

Si $\alpha=ix$ cuando $x$ es racional, entonces $\alpha$ es algebraica, por lo que $e^{ix}=\cos x + i\sin x$ es trascendental.

Si $z$ es trascendental, entonces también lo es de $w=z-\frac{1}{z}$. Por lo demás, $z^2-w z -1 =0$ y por tanto $z$ es algebraico.

Pero si $z=e^{ix}$, con $x$ racional, entonces, $z$ es trascendental y, por tanto, también lo es de $z-\frac{1}{z} = 2i\sin x$. Así que si $2i\sin x$ es trascendental, entonces también lo es de $\sin x$.