He estado mirando un montón de diferentes no-lineal de ecuaciones en derivadas parciales que describen las ondas últimamente y han llegado a la conclusión de que no sé lo que es sobre estas ecuaciones en derivadas parciales que hacen que ellos se comportan como ondas. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger, $i u_{t}+u_{xx}=0$ describe la onda de comportamiento sin embargo el muy parecidas ecuación de difusión de la $u_t-u_{xx}=0$ no. ¿Qué es lo que hace que la ecuación KdV, el CHM ecuación, y el no Lineal de la ecuación de Schrödinger de la exhibición de la onda de comportamiento?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El problema con responder a esta pregunta es definir exactamente lo que queremos decir por una ola y ola-comportamiento. Yo se describen algunas propiedades de las ondas tienen y muestran algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales que describen las diferentes formas de comportamiento ondulatorio. Yo también voy a tocar algunas de las distintas maneras en las que podemos definir de la onda-comportamiento lineal y no lineal de ecuaciones en derivadas parciales.
Las formas más simples de lo que llamamos ondas es la solución de un PDE en la forma $u(x,t) = f(x\pm ct)$. Esto representa una perturbación que viaja con una velocidad de $c$ a la derecha (-) o a la izquierda (+). Esta solución también la satisfacción de la onda de la ecuación de $u_{tt} = c^2u_{xx}$ y tiene la propiedad de que no se disipa energía y no hay dispersión. Por ejemplo, el lineal de la ecuación de Schrödinger $iu_t = u_{xx}$ (periódico) de la onda-soluciones de $e^{i(x+t)} = \cos(x+t) + i\sin(x+t)$. Sin embargo, no todas estas soluciones son ondas en el sentido intuitivo. Por ejemplo, $f(x) = e^x \implies u(x,t) = e^{x+t}$ puede ser visto como una ola. Tenga en cuenta que esta es una solución para la ecuación de difusión que no ves como tener el comportamiento de las ondas. Sin embargo, si nos imponen también que $f$ tiene que ser periódica cuando nos acercamos a la definición intuitiva de una ola.
La definición anterior no se representan todas las ondas como no permitir la disipación y la dispersión (en el caso en el que van más allá de un solo plano de la onda). Por ejemplo, el PDE $u_t + u_x = u_{xx}$ ha onda soluciones de $u(x,t) = \cos(k(x-t))e^{-k^2t}$. El último factor que describe la disminución de la amplitud de la ola a medida que se viaja y debido a esto no puede ser escrita en la forma $f(x-ct)$ anterior. Los medios de dispersión de las ondas de distinta frecuencia tienen diferente velocidad. Un ejemplo sencillo es el de la PDE $u_t + u_x + u_{xxx} = 0$ a que las soluciones de $\cos(k\left(x-\frac{\omega}{k}t\right))$. Si no hay dispersión (como la onda de la ecuación) tenemos $c = \frac{\omega}{k} = $ constante, mientras que para la ecuación aquí tenemos a $c(k) = \frac{\omega}{k} = 1 - k^2$, con lo que ondas con longitudes de onda más grandes, viajar más rápido que las ondas de longitudes de onda más cortas.
Cómo definir onda comportamiento no-lineal de ecuaciones en derivadas parciales es más desordenado. Lineal de ecuaciones en derivadas parciales satisfacer la superposición principio que dice que cualquier solución puede ser seens como una superposición de soluciones más sencillas (como, por ejemplo, $\cos(kx-\omega(k) t)$ ondas) por lo que si nos puede mostrar un PDE tiene algunos simple ola de soluciones, entonces podemos construir cualquier solución como una superposición de estas ondas. Esto no es cierto para los no-lineal de ecuaciones en derivadas parciales. Sin embargo no lineal del PDE puede tener otros tipos de ondas que se conoce como solitones. Un soliton es un auto-refuerzo de la onda solitaria, que tiene forma permanente, se localiza dentro de una región, no satisface el principio de superposición, se propaga a una velocidad constante y no se dispersa. Físicamente, estas ondas son causados por la cancelación de los lineales y dispersivo efectos. Todas las ecuaciones no lineales que usted menciona como tener onda de la conducta que ha solitones así que esta es una posible respuesta a tu pregunta (que han de onda comportamiento porque tienen solitones). Por ejemplo, el Korteweg–de Vries (KdV) la ecuación de $u_t + u_{xxx} + 6 u u_x = 0$ tiene el soliton $u(x,t) = \frac{c}{2}\text{sech}\left(\frac{\sqrt{c}}{2}(x-ct)\right)$. Lo mismo es cierto para la ecuación no lineal de Schrödinger y la Charney-Hasegawa-Mima (CHM) de la ecuación.
