¿Por qué es $\mathbb{C}[x,y]$ no isomorfo a $\mathbb{C}[x] \otimes _{\mathbb{Z}} \mathbb{C}[y]$ como anillos?

Question

Me gustaría saber por qué $\mathbb{C}[x,y]$ no es isomorfo a $\mathbb{C}[x] \otimes _{\mathbb{Z}} \mathbb{C}[y]$ como anillos.

Gracias! 1

Answer 1

Tenga en cuenta que los dos no son ni siquiera isomorfo como $\mathbb{C}$-espacios vectoriales, ya que el lado izquierdo tiene contables dimensión, mientras que para los RHS $\{1\otimes z|\;\bar{z}\in \mathbb{C}/\mathbb{Z}\}$ es una multitud innumerable que es linealmente independiente sobre $\mathbb{C}$.

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Edit: otra forma de ver que los anillos no son isomorfos, que es sólo una adición de Matt respuesta, es, por ejemplo, tenga en cuenta que hay un número diferente de elementos finitos multiplicativo orden de $n$ cualquier $n>2$. E. g. en el lado izquierdo, un elemento claramente debe ser un escalar para ser finito multiplicativo de la orden, por lo que los únicos elementos de orden 4 se $i$$-i$. Por otro lado, en el lado derecho, $i\otimes 1$, $-i\otimes 1$, $1\otimes i$ y $-1\otimes i = 1\otimes -i$ son todos distintos elementos de orden 4.

Para demostrar que dos elementos del tensor de producto son realmente distintos (esto se aplica a cualquier tensor de productos), usted tiene que construir un $\mathbb{Z}$-bilineal mapa de $\mathbb{C}[x]\times\mathbb{C}[y]$ a algunos otros $\mathbb{Z}$-módulo que se lleva a los dos elementos correspondientes (en este caso, ($i$, 1) y (1,$i$), decir) a diferentes imágenes. Para entender, por que eso es una condición necesaria y suficiente para que destaquen en el producto tensor, volver a la definición del tensor de producto a través de una característica universal.

Answer 2

Debido a $\mathbb C \otimes_{\mathbb Z} \mathbb C$ no es isomorfo a $\mathbb C$. (Hay una natural mapa de la primera a la segunda, con un absolutamente enorme núcleo).

Añadido: En la luz de la discusión a continuación, puede ayudar a añadir la observación de que este núcleo está lleno de no-trivial cero divisores (ver, por ejemplo, Robin respuesta).

Una manera de pensar en esto es que $\mathbb C \otimes_{\mathbb Z} \mathbb C = \mathbb C \otimes_{\mathbb Q} \mathbb C$ contiene $\overline{\mathbb Q}\otimes_{\mathbb Q} \overline{\mathbb Q}$, y este último anillo ya está lleno de divisores de cero. (Robin respuesta da un ejemplo claro. De manera más general, $\overline{\mathbb Q}$ es la unión de todos finita de Galois extensiones $L$ $\mathbb Q$ acostado en $\mathbb C$, y que cualquier tipo $L$, el producto tensor $L \otimes_{\mathbb Q} L$ es isomorfo a un producto de $[L:\mathbb Q]$ copias de $L$.)

Answer 3

Para mostrar que $1\otimes 1+i\otimes i$ es distinto de cero en $\mathbb{C}[X]\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}[X]$ tenga en cuenta que los mapas a $1\otimes 1+i\otimes i$ en $\mathbb{C}[X]\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}[X]$. Este es un producto tensor sobre un campo, por lo que una base como una $\mathbb{R}$-espacio vectorial es adquirido por la tensoring junto bases en cada lado. Ahora como el conjunto de elementos de los formularios $X^n$ y $iX^n$ son bases de $\mathbb{C}[X]$ $\mathbb{R}$ a continuación, $1\otimes 1$ $i\otimes i$ son linealmente independientes más de $\mathbb{R}$.

Como $$(1\otimes 1+i\otimes i)(1\otimes 1-i\otimes i)=0$$ a continuación, $\mathbb{C}[X]\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}[X]$ no es una integral de dominio, a diferencia de $\mathbb{C}[X]\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[X]$.