Polinomio no homogénea y puntos en el infinito

Question

Deje $f=X^2-Y$ ser un polinomio en $k[X,Y]$, lo $V(Z)$ es una parábola:

$V(f)$:

De acuerdo con el teorema de Bézout la $y$-eje tiene que cruzan la parábola de dos veces.

Sabemos que el eje de las y cumple con la parábola en el $P$.

Con el fin de encontrar el punto en el infinito de la intersección, vamos a la homogeneización de los $f$$F=X^2-YZ$.

Con el fin de encontrar los puntos en el infinito sólo tenemos que encontrar estos puntos:

$$V(F)\cap V(Z)=P_1=\{(0:1:0)\}$$

Si nos deshomogenize F $Z$ volvemos $f=X^2-Y$, los puntos en lo finito.

Ahora, si nos deshomogenize F $Y$ $X$ obtenemos $f_1=X^2-Z$$f_2=1-YZ$.

$V(f_1)$:

$V(f_2)$:

Mi pregunta es ¿cuál es el significado de $f_1$$f_2$? Estoy tratando de comprender intuitivamente el significado de homogeneización/deshomogenization de un polinomio y su relación con los puntos en el infinito.

Lo siento si mi pregunta es un poco vago, pero estoy realmente confundido con estos conceptos.

Realmente necesito ayuda

Muchas gracias

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Mi duda se puede resumir en las siguientes preguntas:

¿Qué sucede si nos deshomogenize el polinomio en una variable? (aparte de $z$)

¿Este procedimiento es útil para entender el comportamiento de la curva en un punto dado? (en nuestro caso el punto de $P$)

Answer 1

$V_{\mathbb{P}^2}(X^2-YZ)$ es una superficie cónica. Consulte el vínculo para una imagen más bonita de la preimagen en $\mathbb{A}^3$. Cuando dehomogenize con respecto a los $X$, puede reducir esta superficie con el plano $X=1$ y obtener una sección cónica, es decir, la hipérbola. La intersección con los planos $Y=1$ y $Z=1$ da parábola.