Ejercicio IV.2.12 de Hungerford del Álgebra pide a mostrar lo siguiente:
Si $F$ es un módulo más de un anillo con identidad tal que $F$ tiene una base finita cardinalidad $n > 1$ y otra base de cardinalidad $n + 1$, $F$ tiene una base de cardinalidad $m$ por cada $m > n\ (m \in \mathbb N)$.
Esto es fácil de demostrar el uso de la inducción y el hecho de que si $M$ $R$- módulo con una base de tamaño $n$, $M\simeq\bigoplus_{k=1}^nR$ $R$- módulos.
Mi pregunta es,
para cada una de las $n\geq 1$ hay un anillo de $R$, con una identidad y una $R$-módulo de $M$ tal que $M$ tiene una base de tamaño $m$ todos los $m\geq n$ $M$ no tiene una base de tamaño $k$ todos los $k<n$?
En otro ejercicio de la misma sección el caso de $n=1$ está establecido de la siguiente manera:
Deje $K$ ser un anillo con identidad y $F$ libre $K$-módulo con un infinito numerable base $\{ e_1,e_2,\ldots\}$. Poner $R =$ Hom$_K(F,F)$. A continuación, el autor muestra que el $R$ tiene una base de tamaño $2$ $R$- módulo; es decir $\{f_1,f_2\}$ donde $f_1(e_{2n})=e_n, f(e_{2n-1})=0,f_2(e_{2n})=0,f(e_{2n-1})=e_n$, y, por supuesto, $R$ tiene una base de tamaño $1$; $\{1_R\}$.
Pero no sé qué hacer al $n\geq 2$.
Agradezco de antemano cualquier ayuda.
