Estoy atascado en una pregunta que implica la intergral de una función periódica. La pregunta está formulada de la siguiente manera:
Definición. Una función es periódico con el período $a$ si $f(x)=f(x+a)$ para todos $x$ .
Pregunta. Si $f$ es continua y periódica con periodo $a$ entonces demuestre que $$\int_{0}^{a}f(t)dt=\int_{b}^{b+a}f(t)dt$$ para todos $b\in \mathbb{R}$ .
Entiendo la igualdad, pero me cuesta demostrar que es cierta para todos $b$ . He intentado escribirlo de diferentes formas como $F(a)=F(b+a)-F(b)$ . Esto me llevó a lo siguiente, aunque no estoy seguro de cómo esto demuestra que la igualdad es verdadera para todos $b$ ,
$$\int_{0}^{a}f(t)dt-\int_{b}^{b+a}f(t)dt=0$$ $$=F(a)-F(0)-F(b+a)-F(b)$$ $$=(F(b+a)-F(a))-F(b)$$ $$=\int_{a}^{b+a}f(t)dt-\int_{0}^{b+a}f(t)dt=0$$
Así que, esto me deja con
$$\int_{a}^{b+a}f(t)dt-\int_{0}^{b+a}f(t)dt=\int_{0}^{a}f(t)dt-\int_{b}^{b+a}f(t)dt$$
Siento que estoy cerca, y me he hecho un diagrama de una función senoidal para visualizar lo que podría describir cada una de las integrales anteriores, pero el poder explicar la igualdad anterior se me escapa.
