¿Cómo se resuelve $\frac{(n - 10)(n - 9)(n - 8)\times\ldots\times(n - 2)(n - 1)n}{11!} = 12376$ $n$ sin forzar bruta?

Question

Dada esta ecuación:

$$ \frac{(n - 10)(n - 9)(n - 8)\times\ldots\times(n - 2)(n - 1)n}{11!} = 12376 $$

¿Cómo puedo encontrar a $n$?

Yo ya sé la respuesta a esto, todo gracias aWolfram|Alpha, pero el hecho de saber que la respuesta no es lo suficientemente bueno para mí. Quiero saber sobre cómo iba a ir sobre averiguar la respuesta sin tener que multiplicar cada término, a continuación, utilizando el álgebra de averiguar la respuesta.

Tenía la esperanza de que podría ser más inteligente manera de hacer esto.

Answer 1

$12376=2^3\cdot 7\cdot 13\cdot 17$, por lo que divide a $17$ $(n-10)\cdots (n-1)n$. Vamos a empezar con $n=17$ :)

Ed. También tenga en cuenta que no hay números primos mayores de 17 (ej. 19, 23, 29,...) brecha $(n-10)\cdots (n-1)n$.

Answer 2

% Toque $\rm\displaystyle\ \ 12376\ =\ \binom{n}{11}\ =\ \frac{12}{1}\ \frac{13}{2}\ \frac{14}{3}\: \cdots\: \frac{n}{n-11}\ $para pasar fracciones a la LHS producciones

$$\displaystyle\quad 12376\bigg)\frac{1}{12} = \frac{3094}3\bigg) \frac{2}{13} = \frac{476}3\bigg)\frac{3}{14} = \frac{34}1\bigg)\frac{4}{15} = \frac{136}{15}\bigg)\frac{5}{16} = \frac{17}6\bigg)\frac{6}{17}\ =\ 1 $$

Por lo tanto concluimos $\rm\ n = 17\:.$

Answer 3

La ecuación implica %#% $ de #% estimación de la LHS, $$n\cdots(n-10) = 12376 \cdot 11!. $ $ esto le da el valor de $$ (n-10)^{11} \leq 12376 \cdot 11! \leq n^{11}. $ hasta valores de $n$, y puede usar búsqueda binaria para encontrar la correcta $11$. Tal vez podría utilizar propiedades de la divisibilidad, pero no vale la pena aquí.

Answer 4

El uso de @pharmine de la factorización, tenemos

$$\begin{eqnarray*} n(n-1)(n-2)\cdots(n-10) &=& 17\cdot 13 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 11! \\ &=& 17\cdot 13 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \end{eqnarray*}$$

Ahora, $17$ divide el lado izquierdo, por lo que LHS consta de once enteros consecutivos, incluyendo un múltiplo de $17$; dado el tamaño del producto, es probable que varios "$17$" a sí mismo. El primer $19$ no es un factor, por lo que los números enteros consecutivos son "$18$" a través de "$8$" (es decir, $n=18$), o "$17$" a través de "$7$" ($n=17$). En cualquier caso, la lista de enteros que contiene "$17$" a través de "$8$"; la construcción de estos se utiliza el RHS factores:

$$(17)\cdot 13 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2$$ $$(17\cdot 16)\cdot 13 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$$ $$(17\cdot 16 \cdot 15)\cdot 13 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 7\cdot 6\cdot 4$$ $$\cdots$$ $$(17\cdot 16 \cdot 15 \cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8) \cdot 7$$

... y llegamos a la conclusión de que $n=17$.

Answer 5

El lado izquierdo de la ecuación es ${n \choose 11}$, donde ${n \choose k}$ (leer "$n$ elegir $k$") es un coeficiente binomial (Ver también aquí). Puesto que esto crece bastante rápido en $n$, sólo puede comenzar a conectar en valores.