¿Cuántos grupos de orden $2058$ ¿están ahí?

Question

He intentado calcular el número de grupos de orden $2058=2\times3\times 7^3$ y abortó después de más de una hora. Utilicé la función (aparentemente lenta) $ConstructAllGroups$ porque $NrSmallGroups$ no dio ningún resultado.

El número $n=2058$ es (además de $2048$ ) el número más pequeño $n$ por lo que no sé $gnu(n)$

El exponente más alto es $3$ por lo que debería ser posible calcular $gnu(2058)$ en un plazo razonable.

¿Qué es el $gnu(2058)$ . Si un resultado es demasiado difícil, ¿es menor que ,mayor que o igual a $2058$ ?

Answer 1

Creo que la respuesta es 91.

Esto se calcula mirando dónde se cuelga el proceso de construcción (prueba de conjugación de subgrupos cíclicos pequeños con muchas órbitas regulares) y reduciendo esta prueba para subgrupos (que no encaja bien con las reducciones para conjugación de subgrupos, pero hasta ahora nunca había sido crítica en las aplicaciones) por pruebas de conjugación de elementos (es decir, para subgrupos $<g>$ , $<h>$ Compruebe si $g$ es conjugado con $h^e$ para $e$ coprimo al orden de los elementos) -- Veré de poner esto en una futura versión de GAP.

Answer 2

$\mathtt{ConstructAllGroups(2058)}$ se completó para mí en poco más de dos horas (8219 segundos en una máquina de 2,6 GHz) y devolvió una lista de $91$ grupos, lo que confirma los resultados de Alexander Hulpke.

Muchos cálculos serios en teoría de grupos llevan mucho tiempo; en algunos casos he dejado programas funcionando durante meses y al final he obtenido respuestas útiles. Así que para mí no se trata de un cálculo difícil.

Answer 3

Esto no es una respuesta completa; pero yo avanzaría para la construcción de grupos de este orden de la siguiente manera: si $|G|$ es $2.3.7^3$ entonces Sylow- $7$ es normal (y soluble); entonces el cociente por Sylow-7 también es soluble. Por lo tanto $G$ es resoluble. Entonces $|G|=6.7^3$ donde los factores son relativamente primos, por lo que $G$ tiene subgrupo de orden $6$ . Así, $G$ se verá como $$G=\mbox{(group of order $ 7^3 $)$ \rtimes S_3 $ or $ G $= (group of order $ 7^3 $)$ \rtimes Z_6 $}.$$ Para grupos no abelianos de orden $7^3$ el grupo de automorfismo es bastante más complicado que en los grupos abelianos de orden $7^3$ . Sin duda hay que utilizar otras ideas para construir productos semidirectos no isomórficos.