Forma cerrada de $\int_0^2\frac{1}{2+\sqrt{3\,e^x+3\,e^{-x}-2}}dx$

Question

¿Podría ayudarme a resolver este problema de integración? $$\int_0^2\frac{1}{2+\sqrt{3\,e^x+3\,e^{-x}-2}}dx$$ Su valor numérico aproximado es $0.419197813818367...$ pero no he podido encontrar una expresión simbólica exacta para ello.

Answer 1

$\int_0^2\dfrac{1}{2+\sqrt{3e^x+3e^{-x}-2}}dx$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{1}{2+\sqrt{3y+\dfrac{3}{y}-2}}d(\ln y)$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{1}{y\left(2+\sqrt{3y+\dfrac{3}{y}-2}\right)}dy$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{1}{2y+y\sqrt{3y+\dfrac{3}{y}-2}}dy$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{1}{\sqrt{3y^3-2y^2+3y}+2y}dy$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{\sqrt{3y^3-2y^2+3y}-2y}{\left(\sqrt{3y^3-2y^2+3y}+2y\right)\left(\sqrt{3y^3-2y^2+3y}-2y\right)}dy$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{\sqrt{3y^3-2y^2+3y}-2y}{3y^3-2y^2+3y-4y^2}dy$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{\sqrt{3y^3-2y^2+3y}}{3y^3-6y^2+3y}dy-\int_1^{e^2}\dfrac{2y}{3y^3-6y^2+3y}dy$

$=\int_1^{e^2}\dfrac{\sqrt{3y^3-2y^2+3y}}{3y(y-1)^2}dy-\int_1^{e^2}\dfrac{2}{3(y-1)^2}dy$

que se puede expresar en términos de Funciones de Lauricella