Concurso de matemáticas problema del triplete de enteros: $x + y + z + xy + yz + xz = xyz 1$

Question

¿Puede alguien ayudarme?

Determinar todos los triples enteros $(x,y,z)$ tal que $1 x y z$ y $x + y + z + xy + yz + xz = xyz 1$ .

He pensado en la fórmula de Vieta, pero no dejes que te lleve a un callejón sin salida.

Answer 1

La ecuación puede reescribirse como

$$(1+x)(1+y)(1+z)=2xyz$$

y esto se reescribe como

$$\left(1+{1\over x}\right)\left(1+{1\over y}\right)\left(1+{1\over z}\right)=2$$

Esto ya muestra que los tres números son mayores que $1$ ya que de lo contrario el producto de la izquierda sería mayor que $2$ . Puesto que estamos asumiendo $x$ es el menor de los tres enteros positivos, debemos tener

$$1+{1\over x} \ge 2^{1/3}\approx 1.2599$$

de ahí $x=2$ o $3$ . Si dejamos que $x=2$ la misma idea muestra que

$${4\over3}\gt 1+{1\over y} \ge \sqrt{4\over3}\approx1.1547$$

lo que implica $4\le y\le6$ y si dejamos que $x=3$ da

$${3\over2}\gt1+{1\over y} \ge \sqrt{3\over2}\approx1.2247$$

lo que implica $3\le y \le 4$ . De todo esto, obtenemos los triples

$$(2,4,15), (2,5,9), (2,6,7), (3,3,8),\text{ and } (3,4,5)$$

Answer 2

Es de suponer que existe una forma inteligente, ya que se trata de un problema de concurso. El siguiente enfoque es desagradablemente poco inteligente, y los detalles son algo tediosos.

Tenga en cuenta en primer lugar que $x$ no puede ser $1$ ya que si lo es el lado izquierdo es mayor que el derecho.

Tenga en cuenta también que $x\lt 4$ . Supongamos por el contrario que todos nuestros números son $\ge 4$ . Divide ambos lados por $xyz$ . Entonces los términos de la izquierda tienen suma $\le \frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{15}{16}$ mientras que la derecha es $\ge 1-\frac{1}{64}$ .

Así que $x=2$ o $x=3$ . Terminamos con dos problemas accesibles en $2$ variables.

Answer 3

Se puede reescribir la ecuación como $2(x+y+z)=(x-1)(y-1)(z-1)$ . Como el lado derecho es cúbico y el derecho es cuadrático, las variables deben ser pequeñas o el derecho será demasiado grande. Fijemos $u=x-1,v=y-1,w=z-1$ por comodidad, haciendo que la ecuación $2(u+v+w)+6=uvw$ Partiendo de lo pequeño $u$ si $u=1$ obtenemos $2(v+w)+8=uv, (u-2)(v-2)=12$ que conducen a soluciones $(2,4,15),(2,5,9),(2,6,7)$ . Si $u=2$ obtenemos $2(v+w)=2vw, 24=(2v-2)(2w-2)$ que conduce a $(3,3,8),(3,4,5)$ . Como ha demostrado André Nicolas, eso es todo.

Answer 4

Su fórmula conduce a $(x+1)(y+1)(z+1) = 2xyz$ . Tenga en cuenta que ninguno de $x,y,z$ igual $1$ . También si todos $x,y,z$ son mayores o iguales que $4$ entonces $(x+1)(y+1)(z+1) \leq (125/64)xyz < 2xyz$ una contradicción. Análogamente, suponiendo $x = 2$ o $x = 3$ entonces no puede tener $y$ y $z$ ambos mayores o iguales que $7$ porque de lo contrario $(x+1)(y+1)(z+1) \leq (3/2)x(y+1)(z+1) \leq (3/2)(64/49)xyz < 2xyz$ . Por lo tanto, en el peor de los casos, sólo es necesario comprobar un pequeño número de valores posibles de $x,y$ para ver si existe una solución entera para $z$ . Si asume $x = 2,3$ y $2 \leq y \leq 6$ las demás soluciones siguen por simetría.