¿Lo que ' s la exacta fuerza gravitacional entre las masas esférico simétricas?

Question

Considerar esférica simétrica$^1$ masas de radios $R_1$$R_2$, con esféricas simétrica distribuciones de densidad $\rho_1(r_1)$$\rho_2(r_2)$, y con una distancia entre los centros de las esferas $d$. ¿Qué es exactamente la fuerza entre ellas? Conozco a punto de masas son una buena aproximación, pero estoy buscando una fórmula exacta. Esto sería útil para una gravedad-simulación de juguete de software.

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$^1$ Asume por simplicidad, la idealización donde las mareas o las fuerzas centrífugas no deformar el esférico simétrica, es decir, las diversas partes de la misa se mantienen en su lugar por infinitamente fuerte y rígido de los bonos.

Answer 1

Para esféricamente simétrica de los órganos de la punto-masa aproximación es realmente exacto como una descripción del centro de masa de la fuerza en las esferas. Esto es debido a Gauss la ley en su forma gravitacional: el flujo del campo gravitatorio a través de una superficie esférica concéntrica es proporcional a la masa en su interior, o matemáticamente $$\oint\mathbf{g}\cdot d\mathbf{S}=4\pi G M_\text{int}.$$ Esto puede ser visto para ser equivalente a la ley de Newton de la gravitación y se obtiene el punto de masa de la fórmula cuando se aplica a una masa esférica.

Answer 2

El de Gauss la Ley de respuesta es sin duda correcto, pero para una opinión diferente sobre las cosas, es posible que desee tener una mirada en el Principia de sí mismo. Mucho antes de Gauss, Newton demostró el resultado que usted busca con la geometría.

Básicamente, usted considere como una prueba de partículas ("corpúsculo") fuera una cáscara esférica de masa se tira por las diferentes secciones de que shell, suponiendo que el inverso del cuadrado de la ley de la gravedad. Este es el Teorema de la XXXI del Libro I. Teorema de la XXXIV extiende de este a una prueba de partículas fuera de una esfera sólida de densidad uniforme, fundamentalmente a través de la integración. Teorema de la XXXV generaliza de nuevo a la fuerza entre dos distintos ámbitos de densidad uniforme. Finalmente, el Teorema de la XXXVI nos dice que en el caso general, lo que buscan, la fuerza es la misma como si toda la masa se concentra en las esferas' de los centros, utilizando el principio de superposición.

Answer 3

En el caso de que usted está interesado en algunos de metodología o de una manera transparente sobre la forma de resolver este problema, aquí es una metodología analítica.

Deje que las dos esferas se $S_1$ $S_2$ radio $R_1$ $R_2$ a los centros C1 y C2, respectivamente. La distancia $C1C2 =d\ge R_1+R_2$. Trabajo en coordenadas esféricas , con el marco en C1:

1)Considerar dos puntos P1$( r_1\cos\phi_1\cos\theta_1, r_1\cos\phi_1\sin\theta_1, r_1\sin\phi_1)$

y P2$( d+ r_2\cos\phi_2\cos\theta_2, r_2\cos\phi_2\sin\theta_2, r_2\sin\phi_2)$ en el volumen de $S1$ $S2$ respectivamente.

2) Ahora escribe el cuadrado de la distancia P1P2

$r_{12}^2=(d+ r_2\cos\phi_2\cos\theta_2- r_1\cos\phi_1\cos\theta_1)^2+(r_2\cos\phi_2\sin\theta_2-r_1\cos\phi_1\sin\theta_1)^2+ (r_1\sin\phi_1- r_2\sin\phi_2)^2$

3) Escribir el diferencial de los elementos de volumen para los dos ámbitos en los puntos P1 y P2 en coordenadas esféricas:

$dV_1=\sqrt {g_1}dr_1d\phi_1d\theta_1$ $dV_2=\sqrt {g_2}dr_2d\phi_2d\theta_2$

donde $g_1$ $g_2$ son el Jacobiano determinantes para coordenadas esféricas (no es difícil de encontrar, o busque en un análisis de vector de libro, o el uso de $dV=r^2\cos\phi drd\phi d\theta$). Por tanto, el diferencial de las masas de estos elementos de volumen son

$dm_1=\rho_1(r_1)dV_1$ $dm_2=\rho_2(r_2)dV_2$

Ahora usted puede poner todos estos juntos y escribir el total de la magnitud de la fuerza

$F=G\int_{V_1}\int_{V_2}\frac {\rho_1(r_1)\rho_2(r_2)dV_1dV_2}{r_{12}^2}$

y usted necesita para hacer esta integral con las transformaciones dadas anteriormente.

Este es un fórmula general dando la fuerza total en el problema. Se puede ver que si $d>>R_1+R_2$ esta ecuación se reduce a la atracción gravitatoria entre dos masas puntuales a gran distancia $d$. Uno podría terminar con la más simple de las integrales mediante el uso de la simetría en la línea de C1C2, y teniendo en cuenta los discos en lugar de que el volumen general de los elementos que hemos hecho en el método anterior

Answer 4

Si usted está buscando sólo para la de Newton fuerza de la gravedad, las otras respuestas a esta pregunta son correctos. El esféricamente simétrica la distribución de masa se puede reemplazar por el total de la masa en el centro de la masa y, a continuación, la de Newton, la fuerza gravitacional puede ser calculada para estos dos masas.

Sin embargo, si desea cálculos EXACTOS, debe utilizar la relatividad general. En la relatividad general también es cierto que un esféricamente simétrica distribución de la masa puede ser reemplazado con el Schwarzchild agujero negro de la misma masa, en el mismo centro. Sin embargo, esto es solo para una distribución esférica. Es probable que no sea cierto para las dos distribuciones esféricas o para dos Schwarzchild los agujeros negros. No hay ningún saber exacto de la relatividad general de solución a los dos negros problema del agujero. Todo lo que tenemos es muy buena simulaciones numéricas de la relatividad general de dos agujeros negros.