Demostrar que para cualquier $x \in \mathbb N$ tal que $x<n!$ es la suma de a más $n$ distintos divisores de $n!$

Question

Demostrar que para cualquier $x \in \mathbb N$ tal que $x<n!$ es la suma de a más $n$ distintos divisores de $n!$.

Answer 1

Las personas no parecen estar de acuerdo con mi comentario. Así que esta es la CW, y directamente a partir de la respuesta por Sánchez.

Para $n=2,$ sólo necesitamos 1 divisor de $2!,$ $1=1.$

Para $n=3,$ sólo necesitamos 2 divisores de $3!=6,$ $1=1, 2=2,3=3,4=3+1,5=3+2.$

Inducción de la hipótesis: para algunos $n \geq 2,$ necesitamos en la mayoría de las $(n-1)$ distintos divisores de $n!$ escribir $1 \leq x < n!$ como una suma.

La inducción de paso (Sánchez, supra). Deje $N = n+1.$ Deje $1 \leq x < N! = (n+1)!$ Escribir $$ x = N q + r, \; \; \mbox{with} \; \; 0 \leq r < N. $$ Debido a $q < (N-1)! = n!,$ necesitamos en la mayoría de las $(n-1) = (N-2)$ divisores de $n!$ escribir $q$ como una suma. Así $$ q = \sum_{i=1}^{n-1} d_i, $$ donde cada una de las $d_i | n!$ por lo Tanto cada una de las $Nd_i | N!$

En esta etapa, tenemos a la mayoría de las $N-2$ divisores de $N!$ sobre $r?$, $r < N,$, por lo que es automáticamente un factor de $N!$, por Lo que hemos terminado el proceso de descomposición como suma en la mayoría de las $(N-1)$ divisores de $N!,$ donde $N=n+1.$

CONCLUSIÓN: Para todos los $N \geq 2,$ cada entero $1 \leq x < N!$ puede ser escrito como la suma de (en la mayoría) $N-1$ distintos divisores de $N!$

SUGERENCIA: intente por $N=4, \; \; N! = 24.$

No importa, a hacer yo. La alícuota divisores 1,2,3,4,6,8,12. $$1=1,2=2,3=3,4=4,5=4+1,6=4+2,7=4+3, 8=8,9=8+1,10=8+2, $$ $$11=8+3, 12= 12, 13 = 12+1, 14 = 12+2, 15 = 12+3, 16 = 12+4,$$ $$17=12+4+1, 18=12+6,19=12+4+3,20=12+8,$$ $$21=12+8+1,22=12+8+2,23 = 12+8+3. $$

Answer 2

Sugerencia: Tenga en cuenta que $x = m (n-1)! + r$ donde $0 \le m < n$ y $0 \le r < (n-1)!$. Utilizar la inducción.

EDIT: Uy, esto está mal: como señaló Steven Stadnicki, $m (n-1)!$ no necesariamente divide $n!$.

Answer 3

No se muy bien allí, pero un inicio: Como se sugiere en la Wikipedia en práctica los números vamos a utilizar el algoritmo voraz. Primer saque $n!/2$ si que es posible, a continuación,$n!/3$, $n!/4$ y así sucesivamente, y se detienen cuando el resto es menor que o igual a $n$ y saltando denominadores que no se dividen $n!$. Si $n$ $x$ son muy grandes, los denominadores utilizamos seguirá Sylvester secuencia: $2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807,\ldots$ el cual es dado por $a(0)=2, a(n+1)=a(n)^2-a(n)+1$. El uso de la inducción, tenemos que encontrar una secuencia de $m$ denominadores que reducen $n!-1$ a algo menos de $n$. Para $n$ en el rango $5-6$ podemos usar $2,3,8,30$. Para $7$ podemos usar $2,3,7,45$ $8-10$ podemos usar $2,3,7,45,640$. A continuación, $44$ está disponible en el $11$. "Obviamente" funciona, pero no puedo demostrarlo.

Answer 4

Un número natural $m$ se llama práctico si todos los números naturales se pueden representar como la suma de los distintos divisores de $m$.

El problema pide a establecer que el factorial de los números son prácticos. El artículo de la wikipedia en práctica números incluso le da un algoritmo implementado en Mathematica:

dec2[0, n_] := {};
dec2[1, n_] := {1};
dec2[x_, n_] := Module[{fcts, pa, q, r, quo},
  fcts = Last[FactorInteger[n]]; pa = Power @@ fcts;
  q = Min[Quotient[x, pa], DivisorSigma[1, quo = Quotient[n, pa]]];
  Join[dec2[x - q pa, Quotient[n, First[fcts]] ], dec2[q, quo] pa]
  ]

dec[x_, n_] := Block[{$RecursionLimit = Infinity}, dec2[x, n!]]

Ejemplo:

In[32]:= dec[17, 4]

Out[32]= {2, 3, 12}

In[33]:= dec[137, 6]

Out[33]= {2, 45, 90}

Queda demostrado que la descomposición de la longitud de $x < n!$ será menos de la igualdad de $n$.