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Espectáculo 7!1/7<8!1/8

Espectáculo 7!1/7<8!1/8

Así que sé que el primer paso es eliminar los radicales. Así iba yo a elevar ambos lados de la energía de 8 para obtener (7!1/7)8<8!. Yo no estoy seguro de dónde ir a partir de aquí, estoy seguro de que hay algún truco no sé para resolver esto.

10voto

Paolo Leonetti Puntos 2966

Se afirma que (7!)8<(8!)7. De hecho (8!)7=(87!)7=87(7!)7>8!(7!)7>(7!)8.

5voto

AsdrubalBeltran Puntos 2298

Sugerencia: tenga en cuenta que 7!<87

7!<87(7!)17<87!(7!)17<7!8(7!)87<8!(7!)17<(8!)18

4voto

Matt Puntos 21

Podría elevar ambos lados de la energía 56, de modo que usted está comparando 7!88!7. Entonces 8!7=877!7>7!7!7=7!8. A ver donde la desigualdad proviene de multiplicar el factoriales para que 87=8888888>7654321=7!.

0voto

RecklessReckoner Puntos 7956

Podríamos generalizar el asunto de esta manera. Podemos resolver

( n! )1/n = x1n+1    x = ( n! )n+1n = ( n! ) · ( n! )1n

y sería de desear a la afirmación de que

( n! ) · ( n! )1n <  (n+1)!    ( n! )1n < n+1  ,  for n  1  .

Tomando el logaritmo de ambos lados, tendríamos

1n log( n! ) < log(n+1)  log n + log(n1) +  + log 2 + log 1 < n log(n+1)  .

Esta última desigualdad es cierto para  n  1  , por lo que se deduce que  ( n! )1n · ( n! ) < n+1 · ( n! )    ( n! )n+1n < (n+1)!   ( n! )1n < [ (n+1)! ]1n+1  , for n  1  .

[Esto está relacionado con un número de los enfoques dados por otros socorristas.]

Una más sofisticados (incluso de alta falutin') manera de demostrar esto sería decir que la proposición se deduce del hecho de que  log Γ(x+1)x  es conocido por ser una función creciente para  x  1  .

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