Espectáculo $7!^{1/7} < 8!^{1/8}$

Question

Espectáculo $7!^{1/7} < 8!^{1/8}$

Así que sé que el primer paso es eliminar los radicales. Así iba yo a elevar ambos lados de la energía de 8 para obtener $({7!}^{1/7})^8 < 8!$. Yo no estoy seguro de dónde ir a partir de aquí, estoy seguro de que hay algún truco no sé para resolver esto.

Answer 1

Se afirma que $(7!)^8 < (8!)^7$. De hecho $$(8!)^7=(8\cdot 7!)^7=8^7\cdot (7!)^7 > 8!\cdot (7!)^7>(7!)^8.$$

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que $$7!<8^7$$

$$7!<8^7\implies(7!)^\frac{1}{7}<8\implies7!\cdot(7!)^\frac{1}{7}<7!\cdot8\implies(7!)^\frac{8}{7}<8!\implies(7!)^\frac{1}{7}<(8!)^\frac{1}{8}$$

Answer 3

Podría elevar ambos lados de la energía $56$, de modo que usted está comparando $7!^8$$8!^7$. Entonces $$8!^7=8^7\cdot 7!^7>7!\cdot 7!^7=7!^8.$$ A ver donde la desigualdad proviene de multiplicar el factoriales para que $$8^7=8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8>7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=7!.$$

Answer 4

Podríamos generalizar el asunto de esta manera. Podemos resolver

$$( \ n! \ )^{1/n} \ = \ x^{\frac{1}{n+1}} \ \ \Rightarrow \ \ x \ = \ ( \ n! \ )^{\frac{n+1}{n}} \ = \ ( \ n! \ ) \ · \ ( \ n! \ )^{\frac{1}{n}}$$

y sería de desear a la afirmación de que

$$( \ n! \ ) \ · \ ( \ n! \ )^{\frac{1}{n}} \ < \ \ ( n + 1 )! \ \ \Rightarrow \ \ ( \ n! \ )^{\frac{1}{n}} \ < \ n + 1 \ \ , \ \ \text{for} \ n \ \ge \ 1 \ \ .$$

Tomando el logaritmo de ambos lados, tendríamos

$$\frac{1}{n} \ \log( \ n! \ ) \ < \ \log(n + 1)$$ $$\Rightarrow \ \log \ n \ + \ \log (n-1) \ + \ \ldots \ + \ \log \ 2 \ + \ \log \ 1 \ < \ n \ \log (n+1) \ \ .$$

Esta última desigualdad es cierto para $\ n \ \ge \ 1 \ $ , por lo que se deduce que $$\ ( \ n! \ )^{\frac{1}{n}} \ · \ ( \ n! \ ) \ < \ n + 1 \ · \ ( \ n! \ ) \ \ \Rightarrow \ \ ( \ n! \ )^{\frac{n+1}{n}} \ < \ (n + 1)!$$ $$\Rightarrow \ \ ( \ n! \ )^{\frac{ 1}{n}} \ < \ [ \ (n + 1)! \ ]^{\frac{1}{n+1}} \ \ , \ \text{for} \ n \ \ge \ 1 \ \ .$$

[Esto está relacionado con un número de los enfoques dados por otros socorristas.]

Una más sofisticados (incluso de alta falutin') manera de demostrar esto sería decir que la proposición se deduce del hecho de que $\ \frac{\log \ \Gamma(x + 1) }{x} \ $ es conocido por ser una función creciente para $\ x \ \ge \ 1 \ $ .