Podríamos generalizar el asunto de esta manera. Podemos resolver
( n! )1/n = x1n+1 ⇒ x = ( n! )n+1n = ( n! ) · ( n! )1n
y sería de desear a la afirmación de que
( n! ) · ( n! )1n < (n+1)! ⇒ ( n! )1n < n+1 , for n ≥ 1 .
Tomando el logaritmo de ambos lados, tendríamos
1n log( n! ) < log(n+1) ⇒ log n + log(n−1) + … + log 2 + log 1 < n log(n+1) .
Esta última desigualdad es cierto para n ≥ 1 , por lo que se deduce que
( n! )1n · ( n! ) < n+1 · ( n! ) ⇒ ( n! )n+1n < (n+1)!
⇒ ( n! )1n < [ (n+1)! ]1n+1 , for n ≥ 1 .
[Esto está relacionado con un número de los enfoques dados por otros socorristas.]
Una más sofisticados (incluso de alta falutin') manera de demostrar esto sería decir que la proposición se deduce del hecho de que log Γ(x+1)x es conocido por ser una función creciente para x ≥ 1 .