Para cualquier polígono convexo existe una línea que divide su área y su perímetro por la mitad.

Question

Ya demostré que para cualquier polígono convexo y cualquier pendiente existe una recta con esta pendiente que divide el área del polígono en mitades. Supongo que esto debería ayudarme con el problema principal. Al demostrar el lema demostré que una función del área sobre la línea, cuando la línea se mueve verticalmente es continua y utilicé el teorema del valor intermedio.

Supongo que el problema principal se resolverá de forma similar. Mi idea es tomar una línea cualquiera que divida el área en mitades y empezar a recorrer todas las líneas de esta propiedad, pero cambiando sus pendientes. Cuando haya girado 180 grados habré pasado por una etapa en la que el perímetro también se haya reducido a la mitad.

Si el razonamiento anterior es correcto sólo tengo que demostrar que la función que da el perímetro sobre la recta es continua cuando cambia la pendiente.

¿Cómo lo hago?

Answer 1

Podrías adoptar el doble enfoque de empezar con dos puntos en el perímetro con una distancia de la mitad del perímetro entre ellos, y luego moverlos de forma sincronizada hasta que se intercambien. Como en tu planteamiento, la diferencia entre las áreas a ambos lados de la línea que une los puntos cambia de signo y, por tanto, debe desaparecer en algún momento. Que el área dependa continuamente de los puntos es quizás un poco más obvio que que el perímetro dependa continuamente de la pendiente en tu planteamiento. (Además no necesitas el lema para esta versión).

Answer 2

Su problema es muy similar a una aplicación del teorema de Bolzano dada por Courant y Robbins en "¿Qué son las matemáticas?" (ver imagen inferior). No se molestan en dar un argumento que justifique la continuidad, pero yo pienso, como tú, que no es tan evidente.