El Problema: Vamos a $(E,\tau_E)$ ser un espacio compacto y $(F,\tau_F)$ ser un espacio de Hausdorff. Mostrar que una función $f:E\rightarrow F$ es continua si y sólo si su gráfica es compacto.
Mi Trabajo: en Primer lugar asumir la $(E,\tau_E)$ compacto y $(F,\tau_F)$ un espacio de Hausdorff . Suponga $f:E\rightarrow F$ continuo. Entonces, ciertamente, $f(E)$ es compacto. Entonces $$\operatorname{graph}(f)\subseteq E\times f(E)\subseteq E\times F.$$ Since the graph is closed ( we know this since $(F,\tau_F)$ Hausdorff and $f$ continouous) and $E\times f(E)$ is compact, as the product of two compact sets, than somehow this should give us that $\operatorname{graph}(f)$ compacto. Estaba pensando en la canónica de las proyecciones serían útiles aquí, pero no estoy seguro.
Como para la otra manera, estoy seguro. Cualquier ayuda es muy apreciada.
