Olvida la ley de Hooke. ¿Por qué un muelle ejerce una fuerza?

Question

Olvidando por un momento la ley de Hooke, ¿por qué, desde una perspectiva microscópica (preferiblemente cuántica) hasta una macroscópica, un muelle sometido a tensión ejerce una fuerza?

Estaba pensando que podría haber una analogía entre los estados de alta y baja presión de una onda de aire y la densidad de la distribución de la masa de los estados comprimidos y estirados de un muelle de hierro, pero no sé lo suficiente sobre la física del estado sólido para siquiera adivinarlo.

Answer 1

Se podría hacer una analogía entre la distribución de la presión de una onda sonora y la distribución de la densidad de la masa de un muelle realista que experimenta vibraciones, pero no te daría la explicación que buscas. De hecho, eso sería más como explicar una onda sonora en términos de resortes, en lugar de lo que estás tratando de hacer, es decir, explicar un resorte en términos de ondas.

Aunque no estoy muy familiarizado con los detalles, básicamente lo que ocurre a nivel microscópico de un muelle es que, cuando el muelle está en equilibrio, los átomos están dispuestos en una especie de estructura rígida. Cualquier par de átomos tiene una energía potencial que es una función de la distancia entre esos dos átomos, así que todo el muelle tiene una energía potencial determinada por todas las distancias entre cada par de átomos posible:

$$U = \sum_{i,j} U_{ij}(r_{ij})$$

En equilibrio, el muelle adoptará una forma que minimice esta energía potencial total.

Si lo piensa, un muelle metálico suele formarse calentando un poco de metal para hacerlo maleable (o incluso fundiéndolo), y luego dándole la forma deseada antes de que se enfríe. El calor permite que los átomos se muevan con relativa libertad para que puedan alcanzar la configuración de equilibrio que minimiza su energía potencial, y una vez que el muelle se enfría, se congelan en su lugar.

Por supuesto, los átomos no son completamente congelado en el lugar. Como veo que Georg ya ha escrito en su respuesta, la energía potencial entre dos átomos ( $U_{ij}(r_{ij})$ ) tiene un mínimo en su distancia de equilibrio y va subiendo a cada lado. Si añades algo de energía al sistema, por ejemplo ejerciendo una fuerza sobre él, puedes conseguir que los átomos se acerquen o se alejen. Cuando se estira o se comprime una cuerda, en realidad se está haciendo esto a todos los (pares de) átomos del muelle simultáneamente. Por supuesto, los átomos "intentarán" volver a su posición de equilibrio, es decir, "intentarán" minimizar su energía potencial, y esto es lo que se siente como la fuerza de restauración de un muelle bajo tensión.

Answer 2

Ampliando mi comentario.

Un resorte, o cualquier cosa que pueda ser modelada por una cuerda es cualquier interacción que pueda ser descrita por un potencial que es proporcional a $x^2$ el desplazamiento. ¿Por qué es importante este potencial? Cualitativamente, es que las soluciones a este potencial (es decir, el movimiento de una partícula que se encuentra en este potencial) son las soluciones de un oscilador armónico simple, es decir, las ondas sinusoidales.

En una aproximación muy a mano a esto. Se puede pensar que en el orden más bajo el universo alberga 2 potenciales ubicuos - el $1/x$ potencial que es responsable de nuestras leyes del cuadrado inverso y del $x^2$ potencial responsable de las oscilaciones y los movimientos armónicos. Un potencial constante no ejercerá ninguna fuerza y un $x^1$ ejercerá una fuerza sobre un objeto que es constante a todas las distancias - claramente antifísico.

Más concretamente, una ecuación sencilla para modelar el potencial "sentido" por dos átomos neutros próximos entre sí viene dada por el potencial de Lennard-Jones, cuyo gráfico se muestra a continuación. Este tipo de potencial es algo omnipresente (de una forma u otra) cuando se habla de interacciones intermoleculares. Hay refinamientos, expansiones, mejores modelos, etc. Pero todos tienen algo en común: un "mínimo" o una "copa" en el potencial que representa la configuración estable. Una partícula/átomo/cristal/etc. que existe en esa región del potencial es "estable". Si la empujas en una dirección, naturalmente "caerá" hacia el punto más bajo del potencial.

¿Por qué es importante? Bueno, para primera aproximación la región cercana al punto bajo del potencial es efectivamente a $x^2$ potencial - un simple oscilador armónico. Por lo tanto, cualquier sistema modelado por este potencial responderá como un oscilador armónico en el límite de un realmente pequeño empujón. Es decir, se comporta como un muelle. Debido a la magia de ignorar todo el rigor matemático, efectivamente cualquier potencial que vagamente se parece al potencial L-J, de hecho cualquier potencial que tenga un mínimo local como tal, se parecerá en primer orden a un $x^2$ potencial en la pequeña región alrededor del mínimo.