¿Cuáles son los generadores de $(\mathbb{R},+)$?

Question

Los números reales como un grupo en adición son infinitamente generado por el grupo. No estoy seguro de lo que los generadores son a pesar de (o incluso si tiene sentido hacer la pregunta).

Por ejemplo, podríamos decir que los generadores se $1, 0.1,0.01,\dots$ como un número real puede ser definida como un límite de $\sum_i^n w_i 10^{-i}$ algunos $w$?

Answer 1

Cuando usted habla de $\mathbb{R}$ como un resumen de grupo, se le ha olvidado su topología, por lo que no está permitido decir la palabra "límite". El subgrupo generado por los números de $\frac{1}{10^n}, n \in \mathbb{N}$ es el subgrupo de los números racionales con la terminación decimal expansiones, que es mucho más pequeño que el de los números reales.

Sin embargo, si usted recuerda la topología, a continuación, $\mathbb{R}$ se convierte en un grupo topológicoy, a continuación, es cierto que $\mathbb{R}$ es topológicamente generados por los números de $\frac{1}{10^n}$ en el sentido de que el cierre del subgrupo que genera todos los de $\mathbb{R}$.

En la práctica, sin embargo, una vez que empezamos a hablar sobre los grupos topológicos no es especialmente útil para trabajar con los generadores. En cambio, en el caso especial de la Mentira de los grupos de un sustituto razonable es trabajar con sus álgebras de Lie, que se puede considerar como su "generadores infinitesimales."

Answer 2

No hay ningún conjunto finito, ni el mínimo conjunto de generadores para $(\mathbb R, +)$, por lo tanto, es un infinitamente generado (innumerables) del grupo.

Answer 3

$\Bbb R$ es incontable, por lo que definitivamente no es finitely generado, o incluso countably generado. Supongamos que tenemos countably muchos generadores, $\{a_{i}\}$. A continuación, cada elemento de a $\Bbb R$ puede ser escrito como $\sum_i n_{i} a_{i}$ (a la que no se preocupe acerca de la convergencia), donde $i$ rangos de $\Bbb N$, e $n_{i} \in \Bbb Z$. Sin embargo, el conjunto de todas las expresiones que claramente es una contables de la unión de conjuntos contables, por lo que es contable.

Answer 4

Esta sugerencia es un buen punto, pero necesita saber Divisible entre grupos. No es finitely generado debido a que cualquier trivial divisible grupo no puede ser finitely generado.