Estoy leyendo una prueba del hecho de que un armónico de la serie no converge. A mí me parece que la prueba (por supuesto no es el hecho en sí) está mal, ¿no?
Suponemos que una de armónicos de la serie converge a $s \in \mathbb R$ (un la prueba por contradicción).
Para un entero $m > 1$ $$\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}=\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{j}+\sum_{j=m+1}^{2m}\frac{1}{j}+\sum_{j=2m+1}^{3m}\frac{1}{j}+\cdots$$
Mi explicación de la declaración: esto es cierto porque los $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}=\lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j} = \lim_{n \to \infty} s_n$
$$\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{j}+\sum_{j=m+1}^{2m}\frac{1} {j}+\sum_{j=2m+1}^{3m}\frac{1}{j}+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=(k-1)m+1}^{mk}\frac{1}{j}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=(k-1)m+1}^{mk}\frac{1}{j}=\lim_{n \to \infty}s'_n$$
Debido a $s'_n$ es una sub-secuencia de $s_n$$s_n \to s \implies s'_n \to s$, con lo que la igualdad anterior.
Ahora la prueba se procede a considerar otra serie de $s''_n=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=(k-1)m+1}^{mk}\frac{1}{mk}$. Es claro que $s'_n > s''_n$ $\forall n$, así, el autor concluye que el $\lim_{n \to \infty}s'_n=s>\lim_{n \to \infty}s''_n$ que se presenta en el siguiente formulario como algo completamente obvio:
$$\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j}>m\left(\frac{1}{m}\right)+m\left(\frac{1}{2m}\right)+m\left(\frac{1}{3m}\right)+\cdots$$
El autor termina la prueba señalando que debido a $s''_n$ es de por sí una serie armónica tenemos que $s>s$ (contradicción).
Lo que me parece mal es la conclusión de $\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j}>m(\frac{1}{m})+m(\frac{1}{2m})+m(\frac{1}{3m})+\cdots$, es decir, $\lim_{n \to \infty}s'_n>\lim_{n \to \infty}s''_n$ porque $s'_n > s''_n$ $\forall n$. ¿No le parece mal?
