Segunda derivada "derivación de la fórmula"

Question

He tratado de entender cómo funciona la "fórmula" de la derivada de segundo orden:

$$\lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$$

Por lo tanto, la tasa de cambio de la tasa de cambio para una función continua arbitraria. Básicamente se siente bien, ya que muestra "el después $x+h$ y el antes $x-h$ " y el $h^2$ está ahí (debido a la esperada /h/h -> /h*h), pero estoy teniendo problemas para encontrar la ecuación por mi cuenta.

Es básicamente un derivado de un derivado, ¿verdad? La notación newtoniana declara como $f''$ y la de Leibniz como $\frac{\partial^2{y}}{\partial{x}^2}$ que se disuelve en:

$$(f')'$$ y $$\frac{\partial{}}{\partial{x}}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$$

Así, la primera derivación muestra la tasa de cambio del valor de una función en relación con la entrada. La segunda derivada muestra la tasa de cambio de la tasa de cambio real, sugiriendo información relativa a la frecuencia con la que cambia.

El original es bastante sencillo:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{x + h - x} = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Y se puede demostrar fácilmente que $f'(x) = nx^{n-1} + \dots$ es correcta para la más próxima de las funciones polinómicas. Así, mi lógica sugiere que para obtener la derivada de una derivada, sólo hay que enviar la función derivada como entrada para encontrar la nueva derivada. Dejaré de lado el $\lim_{h\to0}$ para simplificar:

$$f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Por lo tanto, la derivada de la derivada debe ser:

$$f''(x) = \lim_{h\to0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}$$

$$f''(x) = \lim_{h\to0} \frac{ \frac{ f(x+2h) - f(x+h)}{h} - \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} }{h}$$

$$f''(x) = \lim_{h\to0} \frac{ \frac{ f(x+2h) - f(x+h) - f(x+h) + f(x)}{h} }{h}$$

$$f''(x) = \lim_{h\to0} \frac{ f(x+2h) - f(x+h) - f(x+h) + f(x) }{h^2}$$

$$f''(x) = \lim_{h\to0} \frac{ f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x) }{h^2}$$

¿Qué estoy haciendo mal? Tal vez sea el desorden de todo esto, pero no puedo verlo. Por favor, ayuda.

Answer 1

El único problema es que estás mirando los tres puntos equivocados: estás mirando $x+2h,x+h$ y $x$ y la versión que se quiere probar utiliza $x+h,x$ y $x-h$ . Comience con $$f\,''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f\,'(x)-f\,'(x-h)}h\;,$$ y estarás bien.

Para ver que esto realmente es equivalente a mirar $$f\,''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f\,'(x+h)-f\,'(x)}h\;,$$ dejar $k=-h$ Entonces

$$\begin{align*} f\,''(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f\,'(x)-f\,'(x-h)}h\\ &=\lim_{-k\to0}\frac{f\,'(x)-f\,'(x-(-k))}{-k}\\ &=\lim_{k\to 0}\frac{f\,'(x-(-k))-f\,'(x)}k\\ &=\lim_{k\to 0}\frac{f\,'(x+k)-f\,'(x)}k\;, \end{align*}$$

y volviendo a nombrar la variable ficticia como $h$ completa la demostración.

Answer 2

Utilizando las expansiones en serie de Taylor de $f(x+h)$ y $f(x-h)$ ,

$$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h+f''(x)\frac{h^2}{2} + f'''(x)\frac{h^3}{3!}+\cdots $$

$$ f(x-h) = f(x) - f'(x)h+f''(x)\frac{h^2}{2} - f'''(x)\frac{h^3}{3!}+\cdots $$

Sumando las ecuaciones anteriores se obtiene

$$ \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = f''(x) + 2\frac{f''''(x)}{4!}h^2+\cdots $$

tomando el límite de la ecuación anterior como $h$ va a cero da el resultado deseado

$$ \Rightarrow f''(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} \,.$$

Answer 3

Su fórmula es correcta. Puedes comprobarla fácilmente utilizando Taylor (o, más formalmente, si sólo tienes segundas derivadas, un Teorema del Valor Medio de segundo orden): $$\begin{multline} \frac1{h^2}\left[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\right]= \\ \frac1{h^2}\left[ f(x)+2hf'(x)+\frac{4h^2}2f''(x)+o(h^3)-2(f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}2f''(x)+o(h^3))+f(x)\right] = \\ \frac1{h^2}\,h^2f''(x) +o(h)=f''(x)+o(h). \end{multline}$$ Sin embargo, tu deducción es un poco inestable, ya que estás unificando dos límites en uno sin justificación. El mismo argumento funciona, y te da la fórmula que querías, si empiezas con $$ \frac1{h^2}\left[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)\right] $$