Un conjunto contiene a $\{1,2,3,4,5....n\}$ donde $n$ es un número par. cuántos subconjuntos que contienen sólo números están ahí$?$

Question

Un conjunto contiene a $\{1,2,3,4,5....n\}$ donde $n$ es un número par. cuántos subconjuntos que contienen sólo números están ahí para que el conjunto$?$

Esta es mi solución, es válido$?$

dado que el número de elemento único subconjunto que contiene sólo un número par es: $n/2$ un elemento está o no en el subconjunto, por lo tanto $2$ opciones. Por lo tanto $2^{(n/2)}$ nos daría todas las combinaciones posibles de subconjunto que contiene sólo un número, incluyendo el conjunto vacío.

Por lo tanto mi respuesta es dada por $2^{(n/2)} - 1$. restando el $1$ debido a que el conjunto vacío $C(n,0)=1$.

Answer 1

Un conjunto que consta sólo de números pueden ser construidos en una de las siguientes maneras: $n/2\choose n/2$ maneras de construir un conjunto que consta de $n/2$ elementos;

$n/2\choose (n/2) -1$ maneras de construir un conjunto que consta de $(n/2)-1$ elementos;

$n/2\choose (n/2)-2$ maneras de construir un conjunto que consta de $(n/2)-2$ elementos;

y así sucesivamente y así sucesivamente hasta que

$n/2\choose 1$ maneras de construir un conjunto que consta de $1$ elemento;

$n/2\choose 0$ maneras de construir un conjunto compuesto de elementos no;

Así, el número total de posibles subconjuntos de

$n/2\choose n/2$ + $n/2\choose (n/2)-1$ +...+$n/2\choose 1$+$n/2\choose 0$=$(2)^{n/2}$.

Comentario: Un conjunto $S$ consta de sólo números significa que si $x\in S$, $x$ debe ser par. Este es vacuously true si el conjunto está vacío y, por tanto, debemos incluir $n/2\choose 0$.