Un problema de límite con seno

Question

Considere la posibilidad de:

$$\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{|\sin(n+1)|+|\sin(n)|}=1$$

Me di cuenta de que $$\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{|\sin(n+1)|+|\sin(n)|}\leqslant\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{2}=1$$

Lo que sobre el otro lado de la desigualdad?

Answer 1

Nos muestran que $|\sin(n+1)|+|\sin(n)|$ nunca es pequeña, por la búsqueda de un crudo límite inferior.

Supongamos que $|\sin(n)|\lt 0.3$. Mediante la adición de la fórmula, tenemos $\sin(n+1)=\sin n \cos 1+\cos n\sin 1$. Así $$|\sin(n+1)|\ge |\cos n\sin 1|-|\sin n\cos 1|.\tag{1}$$ Tenemos $|\cos n|\gt \sqrt{1-(0.3)^2}\gt 0.8$ y desde $\sin 1\gt 0.8$ tenemos $|\cos n\sin 1|\gt 0.64$. Pero $|\sin n\cos 1|\lt 0.3$, por lo que a partir de (1) llegamos a la conclusión de que $|\sin(n+1)|\gt 0.3$.

Hemos demostrado que al menos uno de $|\sin(n+1)|$$|\sin(n)|$$\ge 0.3$, por lo que la suma es mayor que $0.3$.

Finalmente, $\sqrt[n]{0.3}$ limit $1$$n\to\infty$, y la presión está encendido.

Answer 2

Ha $2>|\sin(n+1)|+|\sin(n)|>0$ es continua y periódica, de modo que hay un $a$ bruja satisface $a>0$$2>|\sin(n+1)|+|\sin(n)|>a$, ahora usted puede tomar la n-ésima raíz de una, ya que $\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a}=1$

Answer 3

Es suficiente para el estudio de $f(x)=\left|\sin(x)\right|+\left|\sin(x+1)\right|$ $[0,\pi]$ a ser capaz de decir que: $$\forall x\in\mathbb{R},\qquad \left|\sin(x)\right|+\left|\sin(x+1)\right|\geq \sin(1). $$ La igualdad se alcanza en $x\in\pi\mathbb{Z}$ y a las $x\in -1+\pi\mathbb{Z}$.

También podemos mejorar el límite superior de la siguiente manera: $$\forall x\in\mathbb{R},\qquad \left|\sin(x)\right|+\left|\sin(x+1)\right|\leq 2\cos\left(\frac{1}{2}\right). $$ La igualdad se alcanza en $x=\frac{\pi-1}{2}+\pi\mathbb{Z}$.

Answer 4

Se sabe que los ceros de $\sin$ están en el punto de $n\pi$ por entero $n$. En particular, $\sin x$ $\sin(x+1)$ no puede ser cero, es decir, $|\sin x| + |\sin (x+1)| > 0$. La función de $f(x) = |\sin x| + |\sin (x+1)|$ es positivo y periódica con período de $2\pi$, por lo que debido a lo compacto que alcanza su mínimo en algún lugar de $[0,2\pi]$, digamos en el punto de $x_0$. Por lo tanto $f(x) \geq f(x_0) > 0$ todos los $x$, y el límite de la siguiente manera.