Demuestre que la densidad de esta EDE no es suave en un parámetro

Question

Consideremos la siguiente ecuación unidimensional

$$X_t^x = x + \int_0^t \mathbb{E} |X_s^x| \, ds + B_t , $$

donde $B$ es un movimiento browniano. Se trata de una ecuación de McKean-Vlasov, a veces llamada ecuación de difusión no lineal o de campo medio. Puedo demostrar que tiene una solución fuerte única. Lo que me gustaría demostrar es que su densidad no es suave, es decir $C^{\infty}$ , en $x$ . O, alternativamente, me gustaría demostrar que para los fijos $t$ el mapa $$ x \mapsto \mathbb{E} |X_t^x| $$ no es suave.

Algunas EDEs de McKean-Vlasov se pueden resolver explícitamente, pero en este caso la presencia del módulo en los coeficientes hace difícil encontrar una solución explícita. Por lo tanto, no conozco la densidad ni una expresión para $\mathbb{E} |X_t^x|$ explícitamente.

• Sin conocer la densidad o una expresión para $\mathbb{E} |X_t^x|$ explícitamente, ¿cómo puedo demostrar que no son suaves?

Answer 1

1. el $X_t^x$ son normales
2. Con $\mu(x,t) = \mathbb E X_t^x$ Creo que puedo demostrar que si $\mu(0,t) = at + O(t^2)$ entonces $\mu(0,t) \sim t^{\frac 32}$
3. Prueba: $\mathbb E |X_t^x| = \mu(x,t) + 2\sqrt{s} \phi(\frac {\mu} {\sqrt s})$ por lo que a partir de la definición de la ecuación $\mu(0,t) = \int^t \mu(0,t) + + 2\sqrt{s} \phi(\frac {\mu} {\sqrt s}) ds$ $\approx \int^t as + 2\sqrt s \phi(0) ds$