¿Por qué son Dedekind-finito anillos llama así?

Question

Un Dedekind-finito anillo es un anillo en el que $ab=1$ implica $ba=1$.

Parece natural para buscar una conexión a Dedekind-finito de conjuntos, sin embargo, para un conjunto de cualquier inyectiva endomorfismo es surjective, mientras que para un Dedekind-finito anillo va viceversa, es decir, cualquier surjective endomorfismo es inyectiva (En otras palabras, un anillo es Hopfian).

Así que, ¿cuál es la motivación detrás de este nombre (de anillos)?

Gracias.

Answer 1

Lam tiene un ejercicio sobre este en Conferencias sobre los Módulos y Anillos pp 18:

Un módulo M se llama Dedekind finito si $M\cong M\oplus N$ implica $N=0$. $M$ es un Dedekind finito módulo de iff $End(M_R)$ es un Dedekind finito anillo. Si $M$ es Hopfian, a continuación, $End(M_R)$ es Dedekind finito, pero no siempre es a la inversa. El caso de al $M=R_R$, Dedekind finitud de $R_R$ resulta ser equivalente a ser un Hopfian módulo, ya que $R_R$ es proyectiva.

Pasé algún tiempo buscando en los anillos de donde$R_R$$\textit{coHopfian}$, y encontré algunas cosas interesantes. Para una cosa, no es lo mismo que ser un coHopfian objeto en la categoría de anillos. Tomó un montón de excavación, pero por fin he encontrado un ejemplo dado por Varadarajan de una izquierda-no-derecho (módulo)-coHopfian anillo.

Answer 2

Me parece que usted simplemente debe aplicar su propia observación relativa a Dedekind-finito de conjuntos y su definición a la izquierda/derecha homotheties involucrados: dado $ab=1$, el derecho homothety definido por $b$, es decir,$\vartheta_b:R\rightarrow R$, $r\mapsto rb$, visto como un homomorphism de abelian grupos, dicen, es claramente surjective (uno ha $\vartheta_b\circ\vartheta_a=\text{id}_R$); iff también se $ba=1$, $\vartheta_a\circ\vartheta_b=\text{id}_R$ $\vartheta_b$ inyectiva, (tenga en cuenta también que la cara inversos multiplicativos de un elemento, cuando existan, deben coincidir debido a la asociatividad). El endomorfismo anillos de finito-dimensional espacios vectoriales (skew) los campos son, por supuesto, estándar ejemplos de Dedekind-finito anillos, además de justificar (posiblemente) la intuición de que tales espacios vectoriales (y de ahí su endomorfismo anillos) son "pequeños" en un sentido. Saludos cordiales, Stephan F. Kroneck.