Por ejemplo, $a \times b = c$
Si solo conoces $a$ y $c$, ¿qué método puedes usar para encontrar $b$?
Respuestas
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Matt Dawdy
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El nombre "producto" para el producto cruzado es desafortunado. Realmente no debería ser considerado como un producto en el sentido ordinario; por ejemplo, ni siquiera es asociativo. Por lo tanto, no se debe esperar que tenga propiedades análogas a las propiedades de la multiplicación ordinaria.
Lo que realmente es el producto cruzado es un corchete de Lie.
Jared
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3856
Bien, busquemos una inversa aquí:
El producto cruzado está restringido a $\mathbb{R}^3$ (asumiendo números reales, pero eso no es realmente una restricción aquí, creo). Entonces tenemos:
$$ \langle x_1, y_1, z_1\rangle\times\langle x_2, y_2, z_2\rangle = \langle y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2\rangle $$
Luego tenemos:
\begin{align} \langle x_3, y_3, z_3\rangle\times\left(\langle x_1, y_1, z_1\rangle\times\langle x_2, y_2, z_2\rangle\right) = & \langle y_3(x_1y_2 - y_1x_2) - z_3(z_1x_2 - x_1z_2),\\ &z_3(y_1z_2 - z_1y_2) - x_3(x_1y_2 - y_1x_2),\\ & x_3(z_1x_2 - x_1z_2) - y_3(y_1z_2 - z_1y_2)\rangle \end{align}
Ahora esto parece muy complicado (y lo es, si necesitas resolverlo "tal cual"). En cambio, podemos imaginar que ya conocemos $\vec{n}' = \vec{v}_1\times\vec{v_2}$. Entonces esto se convierte en:
\begin{align} \langle x_3, y_3, z_3\rangle\times\vec{n}' = & \langle y_3n'_z - z_3n'_y, z_3n'_x - x_3n'_z, x_3n'_y - y_3n'_x\rangle \end{align}
Ahora estamos tratando de encontrar $\langle x_3, y_3, z_3\rangle$ que es la inversa. Entonces igualamos esto al segundo argumento del producto cruzado original, tenemos un conjunto de ecuaciones lineales para tres incógnitas ($x_3, y_3, z_3):
$$ x_2 = y_3n'_z - z_3n'_y \\ y_2 = z_3n'_x - x_3n'_z \\ z_2 = x_3n'_y - y_3n'_x $$
La matriz da:
$$ \begin{pmatrix} 0 & n_z' & -n_y' \\ -n_z' & 0 &n_x' \\ n_y' & -n_x' & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x_3 \\ y_3 \\ z_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2\end{pmatrix} $$
No hay ninguna solución cuando el determinante de esta matriz es cero, lo cual siempre es el caso: $n_z'x_x'n_y'- n_y'n_z'n_x' = 0. Esto significa que a menos que $\langle x_2, y_2, z_2\rangle$ sea $\vec{0}$ no hay solución (ya que una matriz con un determinante igual a cero solo tiene una solución cuando el LHS es cero, en cuyo caso tiene infinitas soluciones).
Edit (en relación a los comentarios)
Aunque no es estrictamente cierto que simplemente porque el LHS es diferente de cero (y la matriz es degenerada) no habrá una solución, es cierto "en general". Lo que significa que solo puedes encontrar soluciones en casos muy especiales. Esto aún sugiere que no hay una inversa para el producto cruzado (excepto en casos muy especiales).
Usuario no registrado
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Según la definición de $A\times B=C$, el ángulo $(A,C)=(B,C)=90$ grados. Supongamos que $\vec{A}$ y $\vec{C}$ son conocidos. Sabemos que $\vec{B}$ está en el plano con vector normal $\vec{C}$, en el que también está $\vec{A}$. Ahora, debido a esto, y al hecho de que $\vec{A}$, $\vec{B}$ y $\vec{C}$ forman un sistema de la mano derecha; las condiciones para que $\vec{B}$ satisfaga $\vec{A}\times \vec{B}=\vec{C}$ son: 1. La longitud de $\vec{B}$ y el ángulo positivo $Y$ entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$ satisfacen $|\vec{B}|sin(Y)=\dfrac{|\vec{C}|}{|\vec{A}|}$. 2. El ángulo $Y$ es positivo y está entre 0 y $\pi$ (radianes). La condición para Y proviene de cómo definimos un sistema de la mano derecha. Por lo tanto, hay infinitas soluciones si no se especifica nada más.
Si, sin embargo, se conoce $|\vec{B}|$, entonces solo habrá dos posibilidades para Y: $Y_1$ y $Y_2$, donde $sin(Y_1)=sin(Y_2)=\dfrac{|\vec{C}|}{(|\vec{A}|*|\vec{B}|)}$, y $Y_2=\pi - Y_1. Esto proviene del hecho de que $sin(v)=sin(\pi-v)$ para cualquier $v$.
Se puede razonar de la misma manera para resolver $\vec{A}$ si solo se conocen $\vec{B}$ y $\vec{C}.
Mike
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Entonces, si observamos la interpretación geométrica del producto cruzado, debería ser bastante intuitivo por qué no es invertible. Todas las respuestas dadas hasta ahora son buenas, pero espero dar una explicación más simple.
Motivación de los productos punto y cruz
Como sabemos, hay dos operaciones ampliamente utilizadas que se asemejan a la multiplicación con vectores.
Está el producto punto (escalar) que se usa cuando solo nos importan las componentes paralelas de los vectores — por ejemplo al calcular el trabajo realizado $W = \mathbf{\vec F} \cdot \mathbf{\vec s}$, solo nos importa qué tan lejos se mueve un objeto en la dirección de la fuerza.
Luego está el producto cruz (vector), que se usa cuando solo nos importan las componentes perpendiculares de los vectores — por ejemplo al calcular el torque en una puerta que se abre $\vec{\boldsymbol \tau} = \mathbf{\vec F} \times \mathbf{\vec r}$, solo nos importa la componente de la fuerza aplicada perpendicular a la puerta. Como bonificación, el producto cruz nos dice el plano que contiene los dos vectores en forma de su normal.
Por qué el producto cruz no es invertible
Dado que podemos interpretar el producto cruz $\mathbf{\vec u} = \mathbf{\vec v} \times \mathbf{\vec w}$ como el producto de las magnitudes de $\mathbf{\vec v}$ y la componente perpendicular de $\mathbf{\vec w}$, el producto cruz solo "se preocupa" por la componente perpendicular de $\mathbf{\vec w}$ y por lo tanto desestima la componente que es paralela a $\mathbf{\vec v}$. Por lo tanto, podemos cambiar la componente paralela de $\mathbf{\vec w}$ como nos plazca sin afectar el producto cruz final $\mathbf{\vec u}$. Por lo tanto, en la mayoría de los casos, existen infinitos vectores $\mathbf{\vec w}$ a lo largo de la línea paralela a $\mathbf{\vec v}$ que darán el mismo resultado $\mathbf{\vec u}$.
Observa que un argumento muy similar puede hacerse con el producto punto al desestimar la componente perpendicular.
