Nos encontramos con una expresión integral para la suma ($u$ integral de abajo) sin recurrir a las propiedades de las funciones especiales.
Tenemos
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\Gamma(n+s)}
&=& \frac{1}{\Gamma(s+1)}
\underbrace{\left(1+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)(s+2)} + \ldots\right)}_{f(s)}.
\end{eqnarray*}$$
La serie $f(s)$ es un ejemplo simple de un inversa factorial de la serie.
Estas series fueron estudiados incluso en el siglo 18 por Nicole y Stirling y son tratados, por ejemplo, en Whittaker y Watson, Un Curso de Análisis Moderno.
Una forma de desarrollar este tipo de series es, sucesivamente, integrando por partes el lado derecho de
$$f(s) = \int_0^1 d\xi\, s(1-\xi)^{s-1} F(\xi),$$
donde $F(\xi)$ es algunos analítica de la función de $\xi$ y
$\int_0^1$ es la abreviatura de $\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_0^{1-\epsilon}$.
Uno encuentra
$$\begin{eqnarray*}
f(s) &=& F(0) + \frac{F'(0)}{s+1} + \frac{F''(0)}{(s+1)(s+2)} +\ldots.
\end{eqnarray*}$$
Para más detalles sobre las restricciones en $F(\xi)$, ver Whittaker y Watson, 4ª edición, $\S 7.82$.
Para este problema tenemos $F^{(n)}(0) = 1$, lo $F(\xi) = e^\xi$.
Entonces
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\Gamma(n+s)} &=& \frac{f(s)}{\Gamma(s+1)} \\
&=& \frac{1}{\Gamma(s+1)} \int_0^1 d\xi\, s(1-\xi)^{s-1} e^\xi \\
&=& \frac{e}{\Gamma(s)} \int_0^1 du\, u^{s-1} e^{-u}
\hspace{10ex}(\textrm{let }u=1-\xi) \\
&=& \frac{e}{\Gamma(s)} \gamma(s,1),
\end{eqnarray*}$$
donde $\gamma(s,x)$ es la menor la función gamma incompleta.
Tenga en cuenta que $\gamma(s,x) = \Gamma(s) - \Gamma(s,x)$ donde $\Gamma(s,x)$ es la parte superior de la función gamma incompleta.
Por lo tanto,
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\Gamma(n+s)}
&=& e\left(1-\frac{\Gamma(s,1)}{\Gamma(s)}\right),
\end{eqnarray*}$$
como se reivindica.
Gracias por la interesante pregunta!
